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Immagine didattica di un corpo celeste (stella, pianeta, uovo denso)
Una stella come il Sole è una concentrazione di massa.
Attorno: il vuoto, o una porzione di spazio "quasi vuota", poiché contiene
gas molto rarefatto e fotoni. In 2d, l'immagine didattica corrispondente è
un cono smussato (posi):
(18)
Puoi realizzarlo con due componenti. Una porzione di sfera
e una porzione di un cono (posi), incollate insieme. La porzione di sfera è
una superficie a densità di curvatura costante. La porzione del cono è una superficie piana,
una superficie a curvatura di densità locale nulla. Quest'ultimo esempio è una superficie
euclidea. La porzione della sfera è una superficie non euclidea (una superficie
riemanniana).
Questa è l'immagine didattica in 2d di un oggetto a densità costante r,
circondato dal vuoto.
Come fissare insieme i due elementi, per garantire
la continuità del piano tangente? È semplice. La tua porzione di cono
proviene da un cono il cui taglio corrispondeva a un angolo q
. La tua porzione di sfera si suppone costruita con mini-posiconi elementari,
così che contenga una certa "quantità di curvatura angolare" q.
Se i due angoli sono uguali, il piano tangente sarà continuo.
Ma come misurare la quantità di curvatura contenuta in
una data porzione di sfera?
Curvatura totale.
Possiamo costruire una superficie, unendo posiconi elementari.
Possiamo disporla per ottenere una superficie a densità di curvatura costante. Allora sappiamo
che la superficie è una porzione di sfera. Se aggiungiamo sempre più coni
elementari (posi) questa sfera sarà completa. Contiene una certa quantità di
curvatura angolare. Tutte le sfere ne contengono la stessa. La curvatura angolare totale
di una pallina da ping-pong e la curvatura angolare totale della terra sono uguali,
sebbene abbiano un peso molto diverso.
Per inciso, la curvatura totale di un uovo è la stessa,
poiché hanno la stessa topologia. In principio, le galline fanno uova con topologia
sferica. Personalmente non ho mai visto un uovo con topologia toroidale. Corrisponderebbe
a qualche strana serpe, senza testa né coda, o qualcosa del
genere.
Torniamo alle palline da ping-pong, sfere normali. Se questa
superficie ha una densità angolare locale costante significa che la quantità di curvatura
angolare (la somma degli angoli elementari Dq)
sarà proporzionale all'area. Vedi figura 19. Quest'area può essere limitata
da qualsiasi tipo di bordo. Ma possiamo usare le geodetiche della sfera. Chiamiamo S l'
area della sfera e s l'area grigia, all'interno del triangolo.
(19)
Sopra, abbiamo visto che lo scarto (positivo) dalla somma
euclidea (180°), per un triangolo disegnato su una superficie, dipende dal numero
di vertici del cono che erano all'interno. La somma era 180° più tutti gli angoli
corrispondenti a quei vertici racchiusi.
Viceversa, se misuro lo scarto dalla somma
euclidea posso misurare la quantità di curvatura contenuta all'interno del triangolo.
Una geodetica di una sfera è chiamata cerchio massimo della
sfera. Vedi figura (20). I meridiani, l'equatore, sono cerchi massimi della sfera.
(20)
Possiamo tagliare la nostra sfera in otto pezzi di uguale area. Vedi
figura (21). Otteniamo otto triangoli i cui valori di tutti gli angoli sono 90°.
Allora lo scarto dalla somma euclidea è 90°. Ognuno di questi triangoli contiene
una curvatura angolare pari a 90°. In conclusione la curvatura totale,
la curvatura angolare totale della sfera è 8 x
90° = 720° = 4 p.
(21)
Ogni triangolo grigio contiene p/2
.
Ti piacciono le superfici curve, la geometria delle superfici
riemanniane?
Se torniamo al nostro cono smussato vediamo che la curvatura
angolare è contenuta all'interno del bordo circolare, nell'area a densità di curvatura
costante. Il fianco del cono, la parete, non è una superficie limitata. Puoi estenderlo
all'infinito se vuoi. La quantità di curvatura angolare non dipende
dal perimetro del bordo, dall'area della porzione di sfera. Quest'ultima può essere ridotta. Vedi figura (22). Anche ridotta a un semplice punto
conterrà la stessa quantità di curvatura angolare. Ecco perché diciamo che
un punto conico era un punto di curvatura concentrata. Viceversa possiamo costruire
superfici lisce con un insieme di punti conici.
La materia è fatta di atomi. Gli atomi possono essere considerati oggetti
puntiformi. Sono "punti di curvatura concentrata" nello spazio 3d.
L'aria che respiri è un mezzo a densità costante. È
fatta di molecole, atomi. È un insieme di punti di curvatura concentrata, collegati
da porzioni euclidee di spazio. Tu assimili ciò a un mezzo a curvatura
costante.
La prossima volta che respiri, pensaci. .
(22)
