Negaconi.
Costruiamo ora quello che chiameremo un "negacono". Per costruire un posicono, abbiamo rimosso un settore da un piano. Qui ne aggiungiamo uno, corrispondente a un angolo q:
(30)
Su questa superficie possiamo tracciare linee geodetiche, con il nostro nastro adesivo, e formare un triangolo con tre di esse. Se misurate la somma degli angoli, vedrete che è 180°-q. Diremo che definisce una concentrazione di curvatura negativa.
Ci sono oggetti con curvatura negativa in casa vostra. Alcuni sedili, per esempio: (30 bis)
Se prendiamo un disco otteniamo la figura (31):
(31)
Naturalmente, se il triangolo composto dalle tre geodetiche non contiene il vertice S, che contiene tutta la curvatura angolare (negativa), la somma sarà la somma euclidea: 180°.
La sella di cavallo.
Potete costruire un gran numero di negaconi elementari con angolo - Dq e unirli. Potete farlo per avere una distanza quasi costante tra due vertici vicini. Allora costruireste una superficie a densità di curvatura negativa costante: una sella di cavallo. Ma questa superficie non si chiuderà mai.
In generale il geometra la chiama superficie a curvatura negativa costante.(32)
"Negacono smussato".
In una sezione precedente, usando una superficie a densità di curvatura positiva costante (una porzione di sfera) e una porzione di posicono, abbiamo costruito un posicono smussato.
Allo stesso modo possiamo costruire quello che chiameremo un negacono smussato. Dobbiamo unire una sella di cavallo a una porzione di negacono, lungo il loro bordo circolare comune. Per gestire la continuità del piano tangente, la curvatura (negativa) contenuta nella sella di cavallo deve essere uguale alla curvatura negativa coinvolta nella costruzione del negacono.
È relativamente facile costruire la porzione richiesta di un negacono!
(33)
NB: Come il posicono, il negacono può essere usato come matrice di stampa. Ma difficilmente si vede come far rotolare un negacono su un piano piatto. È quindi più facile far rotolare il piano su una matrice a curvatura negativa.
Gutemberg inventò la tecnica della stampa. Un disegno in rilievo è inciso su un piano. Poi vi si mette l'inchiostro e lo si preme su un piano.
Più tardi la matrice di stampa fu convertita in un cilindro, per la stampa dei giornali (pressa rotativa).
Ma nessuno, per quanto ne so, usò la pressa conica.
In tutti i casi, il punto importante è mettere le due superfici in contatto, qualunque cosa si faccia. O si muove la matrice, o si fa rotolare la carta (la superficie piana).
Come mostrato nella figura (34), potete usare una matrice conica per stampare qualcosa su un piano. Qualche giornale conico, messo piatto.
(34)
Non è definitivamente certo che nessuno userà mai questo, un giorno. Supponete di voler produrre vesti, con un disegno speciale, corrispondente a una simmetria conica. Supponete di dover produrre migliaia di vesti così. Potreste incidere il disegno originale su una matrice conica, poi usarla per stampare sul materiale, o sul tessuto. Il cliente potrebbe comprarlo e realizzare la veste "conica", essendo sicuro che il motivo ottenuto sarebbe buono, dappertutto.
Nella figura (35) c'è quello che ottenete se stampate con una matrice a curvatura negativa. A destra un negacono messo piatto.
(35)
Nella figura (36) si mostra come unire la sella di cavallo alla porzione di negacono.
A proposito, potreste chiedere:
- Come posso misurare la curvatura angolare negativa contenuta nella mia sella di cavallo?
In alcuni luoghi del Texas, vicino ai dipartimenti di matematica, quando comprate una sella di cavallo la corrispondente curvatura angolare è indicata sullo scontrino allegato. In caso contrario, quando confrontate il perimetro del bordo, o l'area, con il valore euclideo, calcolato dal raggio di questo disco a curvatura negativa, potete dedurre la corrispondente curvatura angolare. Consideratelo un esercizio fruttuoso.
(36)
(37)
Ora possiamo usare il nostro nastro adesivo, tracciare geodetiche e proiettarlo su un piano, come mostrato nella figura (38).
(38)
Come al solito questa proiezione piana si riferisce al nostro "mondo mentale", la parete della caverna di Platone. L'aspetto della geodetica proiettata significherebbe per noi che una qualche forza repulsiva agisce sui nostri oggetti di riferimento, per esempio una forza gravitazionale repulsiva. In realtà, tutto ciò dovrebbe venire dalla geometria sottostante.
