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Geometrie coniugate.
Possiamo ora associare un posicono smussato e un negacono smussato.
L'uno di fronte all'altro: una porzione di sfera e una sella di cavallo, con curvatura
angolare opposta + q
e - q. Abbiamo una corrispondenza
punto a punto (mappatura iniettiva). Nella figura (39) è stata disegnata una coppia di punti
coniugati.
Chiamiamo geometrie coniugate due strutture geometriche,
con un legame punto a punto, tali che le densità di curvatura locale siano opposte.
Questo è il caso della porzione di sfera e della corrispondente sella
di cavallo. Lo stesso vale per la porzione di posicono, di fronte a una porzione di
negacono. Le loro densità di curvatura angolare locale sono zero.
(39)
La curvatura positiva, nella piega F, è interamente contenuta
nella porzione di sfera. La porzione di posicono è una superficie euclidea,
che è "localmente piatta". Nell'altra piega F*, la piega coniugata, tutta la
curvatura angolare (negativa) è contenuta nella sella di cavallo. All'esterno, la
porzione di negacono è "localmente piatta", non contiene curvatura.
Si noti che, data una piega, si può costruire l'altra.
Relatività Generale.
L'idea di base è che il contenuto locale di "materia-energia"
determina la geometria locale, plasma l'ipersuperficie dello spazio-tempo. Si noti
che la parola composta "materia-energia", che mostra come qualsiasi contenuto determini
la geometria dell'universo: materia e radiazione. In una sezione precedente
abbiamo evocato il fatto che i fotoni contribuiscono alla curvatura (positiva).
Oggi il contributo del fondo cosmico è trascurabile. Il contributo della materia
alla geometria è dominante. Ma, in un passato remoto, la situazione era invertita
: nel Modello Standard, quando t < 500.000 anni.
Cerchiamo qualche modello didattico per raffigurare i
concetti di base della relatività generale. Occupiamoci di sistemi stazionari.
Consideriamo una superficie piana, senza alcuna sollecitazione interna. Possiamo modificarne la geometria
se introduciamo una sollecitazione locale. Possiamo introdurre tensione positiva o negativa
(tensore degli sforzi). Per esempio, se riscaldo una pellicola di plastica, creerò una bolla
(effetto di curvatura positiva)
Posso anche impregnare il materiale con un prodotto che,
una volta asciutto, causerà un allungamento locale (effetto di curvatura negativa).
Un calderaio sa come dosare riscaldamento e raffreddamento
per modellare una superficie metallica, per esempio, una lattina che ha subito un incidente.
Prendiamo un semplice tubo metallico. Riscaldiamolo su un lato
e raffreddiamolo sul lato opposto. Cosa accadrà?
(40)
La sollecitazione piegherà il tubo, come mostrato nella figura (41).
(41)
Abbiamo introdotto tensioni nel metallo. Questa è
l'origine della parola tensore in matematica, resistenza dei materiali e geometria.
Lo specialista in resistenza dei materiali parlerà in termini di tensore degli sforzi. Il geometra invocherà il tensore di curvatura. Lo specialista
di relatività generale applicherà il principio di base:
contenuto locale di energia-materia
<-------> geometria locale
Naturalmente, questo contenuto locale di energia-materia determina
la geometria locale di un'ipersuperficie quadridimensionale. Ma l'idea è simile.
Come scriverlo? Usando quelli che i matematici chiamano tensori.
È difficile andare oltre in quella direzione, senza
sviluppare un corso completo di geometria differenziale. La famosa
equazione di Einstein è:
(42)
S = c
T
c è una semplice costante (chiamata
costante di Einstein). Dipende dai valori di altre due costanti:
-
La velocità della luce c.
-
La costante di gravitazione G.
tramite:
(42bis)
S è un tensore geometrico e si fa carico delle
caratteristiche geometriche.
T è un altro tensore, che descrive il contenuto locale
dell'universo. In questo tensore si trovano la densità di materia r
e la pressione p. Esse sono espresse come densità di energia.
r c2
è una densità di energia
Ma anche p è una densità di energia. Di solito si esprime una
pressione in pascal per metro quadrato. Ma un pascal per metro quadrato è anche
un joule per metro cubo. Una pressione è fondamentalmente una densità di energia volumetrica.
I campi
r (x,y,z) e p
(x,y,z)
per un sistema stazionario, costituiscono l'input del problema.
Da questi campi scalari possiamo costruire il tensore T. Poi la domanda
diventa:
- Qual è la geometria che va con un tale campo tensoriale
T (x,y,z), che soddisfa l'equazione (42)?
Dato il contenuto locale dell'Universo, il teorico
deve costruire la geometria locale dell'ipersuperficie dello spazio-tempo. Ma per cosa
?
Qui si usa la seconda ipotesi di base:
- Tutti gli oggetti che compongono il nostro universo seguono
le geodetiche dell'ipersuperficie dello spazio-tempo.
Un oggetto può essere una stella, un pianeta, un atomo, un fotone, una
particella elementare.
Le particelle provengono dall'equazione di campo? Nient'affatto.
La relatività generale le ignora completamente. Per lo specialista di relatività
generale, l'universo è un continuo, nient'altro. Le funzioni di input
r e p corrispondono a
una descrizione macroscopica dell'universo. Lo stesso per l'output: il sistema
geodetico. Per il teorico della relatività generale, l'Universo è un'ipersuperficie,
nient'altro. Egli dice:
- Mi hai dato le funzioni r (x,y,z)
e p (x,y,z). Ho
costruito per te l'ipersuperficie adeguata, che obbedisce all'equazione di campo. Ho
determinato tutti i percorsi possibili: il sistema geodetico. Ma sono completamente
incapace di costruirti delle particelle. Mi dispiace. Vedi un altro dipartimento.
Riassumendo: il ponte tra la relatività generale e
il mondo delle particelle elementari attende ancora il suo costruttore.
Ma l'astronomo dirà:
- Chi se ne importa? Si suppone che i fotoni seguano
particolari geodetiche di questa ipersuperficie. Funziona: posso osservare cose con
dispositivi ottici. Si suppone anche che i pianeti seguano un altro tipo di geodetiche.
Funziona anche questo. Posso calcolare i loro percorsi, prevedere la precessione del perielio
di Mercurio. C'è anche l'effetto lente gravitazionale.
Ha ragione.
Poche parole su questo effetto gravitazionale. Prima di tutto,
questa immagine del cono smussato è una semplice immagine didattica. Per esempio non può
descrivere i percorsi circolari di un pianeta attorno a una stella:
(43)
Questo mostra semplicemente il limite delle immagini didattiche. Ma possiamo
usare quest'ultimo esempio per illustrare l'effetto lente gravitazionale, con
due geodetiche:
(44)
Sotto, la rappresentazione mentale, euclidea dello spazio.
C'è un effetto miraggio. Invece di un singolo oggetto, l'osservatore vede due "miraggi
gravitazionali".
