Formalismo invariante rispetto alle coordinate.
Questa è un'altra parola chiave della relatività generale. Abbiamo detto che il lavoro del cosmologo era equivalente a quello che consiste nel prevedere la forma di un materiale, a causa di sollecitazioni interne.
Prendi un oggetto, la cui topologia è quella della sfera. È una sfera di metallo. Anche qui potremmo modellarla, con flussi d'aria calda e fredda.
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Questi flussi creano sollecitazioni nel metallo, che ne modifica la forma. Naturalmente, man mano che il calore si propaga nel metallo, se si smette di riscaldare e raffreddare, la temperatura della sfera ritorna uniforme e il suo aspetto ridiventa regolare.
Creiamo sollecitazioni nel materiale, che ne modifica la geometria.
Questo campo di sollecitazioni può essere descritto da un oggetto matematico chiamato tensore T.
La geometria dell'oggetto potrebbe essere calcolata a partire da un'equazione di campo, simile all'equazione di Einstein.
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S = a T
dove a è una costante e S un tensore geometrico, che descrive le caratteristiche geometriche.
Il modo migliore per "leggere" la soluzione sarebbe calcolare il sistema geodetico. Conosciamo le geodetiche della sfera, ma le geodetiche di un uovo sono diverse. Per esprimere queste geodetiche abbiamo bisogno di un sistema di coordinate. Per una sfera possiamo usare un sistema (q,j):
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In questo particolare sistema di coordinate la geodetica di una sfera può essere espressa in una forma peculiare. Per esempio le curve:
q = costante (meridiani)
sono geodetiche. Ma le curve
j = costante (paralleli)
non sono curve geodetiche di quella superficie.
Potremmo definire un sistema simile di coordinate sulla superficie "uovo". Ma qualcosa è evidente: il sistema geodetico esiste indipendentemente dalla sua rappresentazione matematica (in un dato, particolare sistema di coordinate).
Il sistema geodetico è invariante rispetto alle coordinate.
Un altro esempio è molto più semplice. Considera le geodetiche di un foglio piano. Sono linee rette. Possiamo descrivere queste linee rette in coordinate cartesiane:
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Possiamo anche descrivere questa famiglia di geodetiche in coordinate polari. Allora le equazioni sono completamente diverse, ma si riferiscono alla stessa famiglia di linee rette. Queste linee rette, geodetiche del foglio piano, esistono indipendentemente dalle coordinate scelte. Sono oggetti invarianti rispetto alle coordinate.
Le equazioni non sono un attributo intrinseco.
È qualcosa che non cambia quando passiamo da un sistema di coordinate a un altro?
Sì: il percorso geodetico, tra due punti M1 e M2 non cambia. Stessa cosa per qualsiasi linea tracciata sulla superficie. La superficie, i punti, la curva che li unisce esistono indipendentemente dalle coordinate scelte. Stessa cosa per la lunghezza del percorso tra M1 e M2. Questo è vero anche per un arco geodetico, che è una particolare linea che unisce due punti:
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Per inciso, questo percorso geodetico è anche un percorso estremale (per esempio il più breve, mostrato qui).
Questo è simile per l'ipersuperficie dello spazio-tempo, che possiede il suo sistema di geodetiche, anch'esso invariante rispetto alle coordinate. Su questa ipersuperficie esiste una lunghezza s, che appartiene all'oggetto ed è indipendente dal sistema di coordinate scelto.
Il punto difficile è che spazio e tempo non sono quantità indipendenti. Non viviamo in uno spazio 3d, con punti (x, y, z). Apparteniamo a un'ipersuperficie 4d che è completamente descritta dal suo sistema di geodetiche. Considera due punti distinti di questa ipersuperficie M1 e M2.
Tali punti possono essere descritti in un dato sistema di quattro coordinate:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1)
M2 ---> (x2, y2, z2, t2)
Questi punti sono chiamati eventi. Possiamo calcolare la curva geodetica che li collega, se esiste. Tali eventi non sono identici. Tra i due possiamo misurare una distanza s, che è invariante rispetto alle coordinate. Questa lunghezza è chiamata:
tempo proprio s
Supponi che tu ed io usiamo un'astronave per viaggiare, da un punto M1 a un altro punto M2, situato nello spazio-tempo.
s è la misura del tempo sul nostro orologio di bordo.
Obbietterai:
- Ma lo spazio esiste, no?
- Attenzione. Questa definizione di ciò che chiamiamo spazio e "tempo assoluto" corrisponde a una scelta arbitraria. Sono solo un modo conveniente per "leggere" la superficie, come quando abbiamo scritto l'equazione delle linee rette, su un foglio piano, in due equazioni diverse. L'unica cosa che non cambia, che è invariante rispetto alle coordinate, è l'intervallo di tempo proprio Dt tra due eventi collegati da un altro oggetto invariante rispetto alle coordinate: una linea geodetica. Il cosiddetto "tempo assoluto" t non è altro che un marcatore cronologico alquanto arbitrario.
Cambiando il tuo sistema di coordinate, cambi la lettura degli eventi. Negli articoli che presenteremo in questo sito web vedrai che questo è un vero problema.
In ogni caso, capisci perché fisici e matematici hanno scelto un formalismo invariante rispetto alle coordinate, basato sui tensori.
Le equazioni tensoriali sono invarianti rispetto alle coordinate.
Questo è lo spirito della relatività generale. Ma, a parte usare hardware sofisticato, è difficile dirti di più.
