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Il problema delle singolarità.
Su una sfera, se si sceglie un qualsiasi sistema di coordinate,
non si possono evitare le singolarità (per esempio due singolarità polari):
(50)
Si noti che si può mappare una sfera con una sola "singolarità polare".
Si taglia la sfera con questa prima famiglia di piani, passanti per la stessa linea
retta:
(51)
Poi si introduce la seconda famiglia di piani, che interseca
anch'essa la sfera.
(52)
Se si esclude questo disordine locale, altrove non c'è alcun problema.
Guardando la sfera dall'altro lato, si ottiene questo:
(53)
Ma, nei punti S, i valori di a
e b semplicemente non sono
definiti!
Eppure una sfera è fondamentalmente una superficie regolare. Gira
un uovo tra le mani: non scoprirai alcun punto peculiare, alcuna singolarità
intrinseca.
(54)
Conclusione: queste singolarità sono un artefatto dovuto
alla scelta delle coordinate.
Queste singolarità polari non sono "reali", non sono singolarità
intrinseche. Si sceglie un sistema di coordinate. Poi un punto arbitrario,
o due, diventano singolari. Le due singolarità di una sfera mappata: il polo
nord e il polo sud, sono una pura creazione del sistema di coordinate
scelto, un artefatto.
