| 10 |
Al contrario, esistono vere singolarità intrinseche, sulle superfici.
Sono vere singolarità geometriche: (55)
(56)
(57)
E così via...
A proposito, una piega è una particolare regione di una superficie in cui si concentra la
curvatura lineare. Nella figura (57), a sinistra, abbiamo una curvatura
lineare negativa. A destra una curvatura lineare positiva.
Abbiamo usato in ogni sotto-figura due porzioni di una sfera. L'oggetto
globale ha la stessa topologia della sfera, il che significa che la sua curvatura
angolare totale è 4p
.
Supponiamo che l'oggetto a sinistra sia stato costruito con due porzioni
di sfere contenenti, ciascuna, una curvatura angolare di 3p.
3p +
3p = 6p
Questo è troppo. Allora la curvatura lineare (negativa)
deve bilanciare ciò, per dare il valore finale richiesto 4p
:
In conclusione la nostra piega contiene una curvatura negativa
:
- 2p
.
Questa curvatura è distribuita uniformemente lungo la curva
circolare, lungo la piega.
Torniamo alle figure (57). Abbiamo disegnato triangoli,
costruiti con linee geodetiche. Ma si può attraversare una piega senza alcun problema
con un (sottile) nastro adesivo. Si sa come calcolare, prevedere la somma dei
tre angoli del triangolo. Basta confrontare l'area del
triangolo con l'area della sfera. L'eccesso di curvatura è:
(58)
Ma bisogna tener conto della curvatura (negativa o positiva)
contenuta nella porzione della piega, nell'arco mn. È:
(59)
Supponiamo che una sorta di lente, a destra della figura (57) sia
costruita con due porzioni di una sfera, ciascuna contenente una curvatura
angolare di p. Pertanto, se dimentichiamo la piega, questo insieme di due porzioni
di una sfera contiene una curvatura angolare di 2p
. Ma questa lente ha una topologia sferoidale. Il contributo della curvatura
angolare deve essere 2p.
Allora:
2p +
2p = 4p
( curvatura totale della sfera )
Si può anche prevedere la somma di questo strano triangolo,
formato da tre linee geodetiche. L'arco mn contiene la curvatura angolare lineare
:
(60)
Quando si misura la quantità di curvatura angolare contenuta
nella piega, all'interno del triangolo, si può dimensionare lo scostamento dalla somma
euclidea, che è p .
Si vede che si possono gestire questi problemi di curvatura,
sulle superfici, relativamente facilmente.
Una superficie può possedere punti conici, o linee di piega. Sono
singolarità intrinseche, non queste singolarità artificiali, dovute a qualche
scelta di coordinate. Si noti che possiamo smussare la piega. Allora otteniamo una nocciolina
:
(61)
Questo è simile allo smussamento della sommità puntiforme di
un cono (curvatura angolare concentrata), trasformando l'oggetto in un cono
smussato (curvatura angolare distribuita su una porzione di una sfera).
Supponiamo che le due porzioni di sfera, sopra, nella figura (61)
rappresentino 2/3 di una sfera, ciascuna, cioè una curvatura
(62)
La porzione grigia della "nocciolina" contiene curvatura negativa.
Precisamente:
(63)
