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Spazio rappresentativo.

Abbiamo visto, in una sezione precedente, che un cilindro può essere appiattito. Ora, prendi un pezzo di carta, un foglio piatto. È una superficie euclidea. Puoi tracciarvi sopra delle geodetiche. Ora accartoccialo.
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Se potessi rendere rigida questa superficie accartocciata e tracciarvi sopra delle geodetiche, con del nastro adesivo, ritroveresti lo stesso sistema! La superficie non era davvero cambiata. Se qualche abitante vive in una simile "pianura", forse non può rendersi conto del processo di accartocciamento. Tutto resterebbe normale per lui, com'è la vita per lui oggi: seguire le geodetiche della sua superficie spazio-temporale bidimensionale, per esempio.

Accartocciando il foglio, hai solo modificato il sistema rappresentativo, il modo in cui la superficie bidimensionale è immersa nello spazio euclideo tridimensionale.

Una modifica più semplice è trasformare un foglio piatto di metallo in una superficie ondulata. Vedi figura (65)
(65)

Molti anni fa ero in un grande mercato di Addis Abeba, in Etiopia. Lì il metallo è raro. Trovi fabbriche dove giovani uomini trasformano superfici di lamiera ondulata in lastre piatte, usando un semplice martello. Se uno di loro avesse tracciato una geodetica prima dell'operazione, avremmo scoperto che il sistema di geodetiche sarebbe rimasto invariato.

Ma, a dire il vero, non sono davvero sicuro che questo tipo di tizio sappia cosa sia una geodetica, da un punto di vista matematico, naturalmente. Qualsiasi persona che costruisce cesti usa linee geodetiche, naturalmente.

Ricordo che ero un insegnante di cestineria, in un campo estivo, vicino a Burlington e al lago Champlain, nel Vermont... molti anni fa.

Tieni presente che gli oggetti geometrici hanno una loro propria esistenza e proprietà, che sono indipendenti dal modo in cui li rappresenti, in uno spazio con un numero di dimensioni superiore. Accartocciato o no, un foglio è un foglio, cioè una superficie euclidea.

Si suppone che viviamo in un ipersuperficie quadridimensionale. Si suppone, tra l'altro, che viviamo tutti allo stesso modo. Ma mia moglie Claire, che è una persona molto affascinante, è convinta che io viva in uno spazio a dimensioni superiori (cinque, pensa lei). Questo induce, a volte, qualche difficoltà di comunicazione quando mi trovo da qualche parte nella mia personale quinta dimensione.

Ma le femmine vivono davvero in un'ipersuperficie quadridimensionale? A volte sono scettico al riguardo, ma questo è un altro argomento.

Ammetti di vivere in un'ipersuperficie quadridimensionale e di seguire le geodetiche di questo spazio-tempo, che segui come un bue segue il suo solco.

Ora supponi di essere Dio. Vuoi una rappresentazione completa di questa ipersuperficie quadridimensionale. Allora hai bisogno di almeno un'altra dimensione. Personalmente, penso che, se Dio esiste, debba vivere in un ipermondo a dieci dimensioni. Gli argomenti successivi saranno sviluppati in Fisica Geometrica B, e provengono dalla teoria dei gruppi.

Dio possiede una struttura di gruppo?

Praticamente, lo specialista di relatività generale calcola una soluzione di un'equazione di campo (la soluzione di Einstein). Poi esamina il sistema di geodetiche. Sono "rette quadridimensionali". Nello spazio-tempo, mentre segui le geodetiche, l'ordine generale è:

• Vai dritto! Non girare a sinistra o a destra.

Obbedisci, semplicemente perché non puoi fare altrimenti. Girare è un nonsenso, nello spazio-tempo. Tutto, tutti "vanno dritti".

Ma le cose, i percorsi, le traiettorie, sembrano curve ai nostri occhi tridimensionali. Lo leggiamo nella nostra rappresentazione mentale dello spazio. Siamo di fronte alla parete della caverna di Platone, guardando ombre tridimensionali danzanti.

Torniamo alla nostra immagine didattica bidimensionale, al cono smussato. Si suppone che rappresenti lo spazio in prossimità di una concentrazione di massa (area grigia). Assumiamo che corrisponda a uno stato stazionario.

Possiamo usare coordinate sferiche (r , q , j) come marcatori spaziali (in 3d). In 2d ne abbiamo solo due: (r , q).

Allora possiamo proiettare la figura su un piano e usare lo stesso insieme di coordinate polari. Vedi la figura successiva.

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Come detto sopra, la superficie del cono smussato è un grossolano modello didattico, che suggerisce una peculiare soluzione dell'equazione di campo di Einstein

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S = c T

costruita nel 1917 da Schwarzschild. Questo è un lavoro brillante e intelligente. Solo per dire che, a quel tempo, Albert non era un genio solitario, perso su un'isola deserta. Molti pensano che il grande matematico tedesco Hilbert abbia inventato l'"equazione di Einstein". Altri hanno suggerito che la signora Einstein avrebbe potuto contribuire efficacemente alla costruzione della relatività speciale, che deriva naturalmente dai lavori di Poincaré e Lorentz (se guardi i lavori di Einstein, vedrai che raramente menziona altre persone).

La soluzione di Schwarzschild è una pietra miliare della relatività generale. La si usa per calcolare le traiettorie relativistiche dei pianeti attorno al sole, evidenziando la precessione del perielio di Mercurio.

Chiunque direbbe immediatamente:

• Perché Schwarzschild non l'ha calcolato da solo?

C'era un'ottima ragione: era morto.

Schwarzschild era un patriota e insistette per andare al fronte, nel 1917. Lì fu gasato e morì in seguito. Einstein continuò il lavoro, che divenne "la teoria di Einstein".

Era una soluzione stazionaria. In seguito Einstein cercò di costruire un modello dell'universo, in cui la curvatura potesse essere identificata con il contenuto di energia-materia. Ma, a quel tempo, nessuno sapeva che l'universo era non stazionario. Albert cercò di costruire un modello stazionario, ma le cose non andavano così bene. Poi visitò Elie Cartan, un grande matematico francese, che gli raccomandò di aggiungere una costante all'equazione di campo, cosa che Einstein fece.

Poi un pilota di aliante russo di nome Friedmann inventò una soluzione non stazionaria. Più o meno nello stesso periodo Edwin Hubble scoprì lo spostamento verso il rosso e le caratteristiche non stazionarie dell'Universo. Einstein fu molto deluso e disse:

• Se avessi saputo che l'Universo era non stazionario, avrei trovato la soluzione prima di Friedmann!

Se, solevano dire gli Spartani.

Ma quella storia non finì lì. Inizialmente, Friedmann aveva costruito la soluzione ciclica, una delle tre che compongono i "modelli di Friedmann".

Einstein rimase in silenzio per anni. Poi, dopo la morte di Friedmann, pubblicò il "modello di Einstein-de Sitter", "la soluzione parabolica di Friedmann".

In seguito un giovane ricercatore polacco di nome Kaluza sottopose un articolo al "Professor Einstein", che rifiutò di pubblicarlo per più di un anno. Kaluza si lamentò con Einstein, che rispose:

• Dovresti guardare più da vicino questa teoria. Sono scettico.....

Molti anni dopo l'idea di Kaluza (aggiungere una quinta dimensione allo spazio-tempo) divenne il punto di partenza di lavori avanzati (incluso l'approccio delle superstringhe). Vedi Fisica Geometrica B.

Beh, Albert non era così sportivo......

Torniamo al modello tridimensionale stazionario corrispondente alla geometria dello spazio-tempo attorno al sole. Il calcolo fornisce geodetiche situate in piani. Se l'effetto di curvatura è moderato, e la velocità piccola rispetto alla velocità della luce c , la loro proiezione, in uno spazio-tempo euclideo rappresentativo, corrisponde a percorsi quasi kepleriani e alle leggi di Keplero. Possiamo dimenticare il tempo e rappresentare queste geodetiche in piani, usando coordinate polari.

r = f (q).

Nella soluzione di Schwarzschild, ci sono, in effetti, due "soluzioni metriche" collegate, come evocato nella figura (68). All'interno del "corpo massiccio" si suppone che la densità di massa r sia costante. Lì il tensore energia-materia T è non nullo. Ma, all'esterno, r e T sono nulli.

(68)

Questa è una geometria composita. In 3d la densità di massa mostra un'abrupta discontinuità sulla superficie (supposta essere una sfera) della "concentrazione di massa". Questo è simile alla discontinuità della densità di curvatura angolare sulla superficie (non nulla nell'area grigia, nulla all'esterno. Il bordo diventa una sfera S1, cioè un ... cerchio).

In 4d il collegamento matematico può essere costruito, al fine di garantire la continuità delle linee geodetiche. Questo è simile alla porzione di collegamento di una porzione di sfera-porzione di un posicono.

Quando la massa diventa importante (cosa che non può essere descritta dal nostro grossolano modello didattico 2d) i percorsi chiusi non sono più ellittici.

Vedi figura (69). Questo disegno corrisponde alla traiettoria di un'astronave attorno a una stella di neutroni.

La traiettoria di Mercurio attorno al sole è simile ma la precessione del perielio dei percorsi ellittici è di 0,15 ° per secolo.

(69)

Un giorno includeremo le formule e il programma che rende possibile giocare con quel problema. Non è molto difficile.

Qualche informazione matematica alla fine di questa pagina e sulla successiva, se vuoi puoi andare direttamente a pagina 13