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Contesto geometrico.

Una sfera è un oggetto geometrico bidimensionale. Servono due quantità, due numeri, due scalari, per localizzare un punto su di essa.

Una sfera è una superficie che possiede una topologia. La sua topologia è diversa da quella del toro.

Entrambi possiedono sistemi geodetici. Come sottolineato in una sezione precedente, possiamo individuare due punti distinti M1 e M2 su una sfera e una curva che li collega. Poi possiamo misurare la lunghezza lungo questo particolare percorso. È una quantità invariante rispetto alle coordinate. Una sfera S2 esiste indipendentemente da qualsiasi spazio rappresentativo tridimensionale. Ma possiamo raffigurarla nel nostro familiare spazio euclideo tridimensionale, in cui supponiamo di vivere. Allora possiamo dare un centro a questa sfera e unire tutti i suoi punti ad esso. Si veda la figura (116). Ogni punto corrisponde a due angoli: q e j.
(116)

Abbiamo praticato un foro nella sfera per mostrare i vettori OM, dove O è il centro e M un punto della sfera.

Ora, la figura (117) mantiene i vettori e dimentica la sfera.

(117)

Queste semirette sono infinite, ma le abbiamo raffigurate troncate, a una data lunghezza, corrispondente al raggio R della nostra sfera. Ogni retta corrisponde a una coppia (q, j). La struttura metrica è scomparsa. Niente geodetiche, niente lunghezza. Cosa rimane?

Ognuna di quelle semirette ha vicine, che formano il suo intorno. Ogni semiretta potrebbe essere raffigurata come racchiusa in una successione di coni (figura (118)).

(118)

Attorno a qualsiasi linea possiamo mettere quante linee di coni vogliamo. Tra due di questi coni possiamo sempre metterne un altro. Ciò suggerisce intuitivamente il concetto di differenziabilità. In un tale oggetto geometrico non c'è discontinuità.

Ora, dimentichiamo la sfera e prendiamo una superficie piana. È un insieme di punti. Qualunque sia il sistema di coordinate che scelgo, posso definire i punti con due quantità: (x,y), (r,q), e così via.

Una coppia di numeri reali. Questi sono presi in R2, cioè nell'insieme dei numeri reali, come (3,8705 , - 17,56).

Qualsiasi coppia di numeri reali (x ; y) possiede un numero infinito di vicini (x + Dx ; y + Dy).

Questi oggetti "pre-metrici" sono chiamati dai matematici varietà.

È piuttosto difficile pensare a un mezzo così "flessibile". In (119) abbiamo raffigurato una superficie piana rigida, con proprietà metriche e, sotto, l'ombra dei suoi punti.

(119)

Un'ombra non ha forma propria, né estensione. Dipende dallo schermo e dalla produzione dei raggi luminosi. Nella figura (120) suggeriamo la relatività dell'ombra rispetto all'oggetto.

(120)

Queste "linee parallele" sono simili a quei raggi che abbiamo introdotto, per collegare i punti di una sfera al suo centro. Qui i punti del piano sono "collegati" a una "sorgente" che è all'infinito.

Abbandoniamo quest'ultima idea di linee rette. Consideriamo un fascio di spaghetti cotti (se non lo sono, dovrebbero essere rigidi e fragili). Possiamo piegarlo. Ma imponiamo agli spaghetti di restare uniti. Il loro intorno non deve essere modificato.

(121)

Tutto ciò è molto grossolano, lo so, e non del tutto rigoroso. Cerco solo di suggerire al lettore cosa può essere una varietà, un oggetto geometrico senza metrica, dove la proprietà principale è che ogni punto ha dei vicini.

Una varietà è un insieme di punti m. Posso immaginare di associare qualsiasi punto di una varietà a una coppia (M1 , M2) di punti, che appartengono a superfici reali, che possiedono proprietà metriche, lunghezza, e così via....

Chiamo la varietà n-dimensionale varietà-scheletro e le superfici n-dimensionali associate semplicemente fogli. Poi costruisco il

rivestimento doppio di una varietà.

Nella figura (122) il rivestimento doppio di una varietà m2 (due dimensioni).

(122)

In (122) ho raffigurato fogli euclidei identici e paralleli (piani) con le stesse metriche. Ma posso costruire la figura (123):

Chiameremo M e M* punti coniugati. Costruire questi due fogli da una "varietà-scheletro" ha un significato preciso: a qualsiasi punto M del foglio F possiamo associare uno e un solo punto coniugato M*. C'è una mappatura punto a punto. Poi possiamo dimenticare la varietà-scheletro.

All'intorno di qualsiasi punto del foglio F corrisponde l'intorno del suo punto coniugato M*. Si veda la figura (124). Ciò significa che a qualsiasi regione regolare di F corrisponde una regione regolare coniugata che appartiene a F*.
(124)

Ciò mostra in particolare che i punti coniugati M e M* sono descritti dallo stesso insieme di coordinate.