Curvature coniugate.
Come possiamo comprendere spazi tridimensionali, con curvatura locale positiva o negativa?
Partiamo dalle superfici bidimensionali. Consideriamo una sfera e fissiamo un chiodo da qualche parte su di essa, come mostrato nella figura (125). Fissiamo uno spago, la cui lunghezza è L, che unisce il chiodo e una matita. Possiamo usarlo per tracciare un cerchio, un parallelo della sfera. Un parallelo di una sfera è l'insieme dei punti che si trovano alla stessa distanza L da un dato punto S.
Possiamo eseguire operazioni simili (figure (125):
-
Su una sella di cavallo
-
Su un piano.
(125)
Sulla superficie piana il perimetro è 2 p L mentre la superficie del disco è p L2.
Sulla sfera il perimetro e l'area del disco sono più piccoli. Sulla sella di cavallo, al contrario, sono più grandi.
Consideriamo una sfera e un parallelo che si identifica con il suo equatore. Si veda la figura (126). I valori corrispondono alla figura (126)
(126)
L'area del disco è 3,875 volte più grande della corrispondente porzione (grigia) della sfera. Il suo perimetro è 1,57 volte più lungo della lunghezza dell'equatore.
Test simili mostrerebbero la curvatura negativa della sella di cavallo. Se tracciamo una curva chiusa, insieme di punti alla stessa distanza L da un dato punto, su una sella di cavallo, la superficie di questo disco a curvatura negativa è più grande della superficie di un disco piatto p L2. Analogamente il perimetro del disco a curvatura negativa è più grande di quello del disco piatto: 2 p L.
La geometria è una scienza per ciechi. I geometri cercano di costruire test che gli abitanti di un dato spazio potrebbero eseguire per scoprire da soli le sue proprietà geometriche. Dalle figure precedenti, gli abitanti di una superficie bidimensionale, incapaci di vederla da un punto di vista esterno (poiché vi vivono), potrebbero scoprire, attraverso la misurazione di aree e lunghezze, se la porzione di superficie in cui vivono possiede una curvatura locale positiva, una curvatura locale negativa, o una curvatura locale nulla (spazio euclideo).
Si noti che esistono superfici la cui curvatura locale può essere positiva, nulla o negativa. Esempio: un toro.
(126ter)
Metodi simili si applicano agli spazi tridimensionali. Scegliamo un punto O, da qualche parte. Prendiamo uno spago, una "matita", e usiamolo per tracciare l'insieme dei punti situati a una data distanza L dal punto considerato. Si ottiene una sfera e se ne può misurare l'area. Se questa superficie è stata costruita in uno spazio tridimensionale euclideo, questa area sarà: 4 p L2.
Se questa area risulta più piccola, significa che questo spazio tridimensionale non è euclideo. È uno spazio tridimensionale riemanniano, a curvatura positiva. Se misuriamo il volume lo troveremo più piccolo di:
(127)
La situazione sarà invertita se abbiamo a che fare con uno spazio tridimensionale a curvatura negativa. L'area della sfera, considerata come l'insieme dei punti situati a una data distanza L da un punto fisso O, sarà più grande di 4 p L2. Il volume, all'interno di quella superficie chiusa, sarà più grande di (127).
La cosmologia non si fonda su semplici spazi tridimensionali, ma su ipersuperfici quadridimensionali (con "segnatura iperbolica"), per cui una tale presentazione è limitata. Dobbiamo considerarla come un modello didattico grossolano.
La curvatura scalare di Riemann di uno spazio n-dimensionale è alquanto diversa.
Nel nostro attuale modello cosmologico, assumeremo che la curvatura scalare riemanniana locale, in punti coniugati (M, M*), siano opposte: (127bis)
R* = - R
Lo specialista troverà maggiori dettagli nell'articolo:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, marzo 1998.
Poi, un'utile immagine didattica bidimensionale, che corrisponde alla figura 39.
(128)
In alto: un posicono levigato. Curvatura locale (angolare) nulla nella porzione di posicono. Densità di curvatura (angolare) positiva costante nella porzione (grigia) di una sfera.
In basso: un "negacono levigato". Densità di curvatura locale (angolare) nulla nella porzione di negacono che circonda la sella di cavallo. Densità di curvatura (angolare) negativa costante nella porzione della sella di cavallo, di fronte alla porzione di una sfera.
Le curvature sono coniugate. Faccia a faccia, con corrispondenza punto a punto, porzioni a curvatura locale nulla di posicono e negacono.
Faccia a faccia, con corrispondenza punto a punto, una superficie a curvatura positiva costante (una porzione di una sfera) e una superficie a curvatura negativa (sella di cavallo). Le densità di curvatura sono uguali e opposte. I bordi circolari sono collegati, punto a punto.
Questa è un'immagine didattica del nostro modello cosmologico. Per maggiori dettagli matematici, si veda:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, marzo 1998.
