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Le due pieghe sono separate. Assumiamo che le particelle seguano la geodetica di ciascuna piega. Chiamiamo "particelle normali" le particelle di materia normale, che viaggiano nella piega F. Chiamiamo "fotoni normali" quelli che viaggiano nella piega F, lungo le loro speciali "geodetiche nulle".
Chiamiamo "materia fantasma" la materia che segue le geodetiche della piega F*.
Chiamiamo "fotoni fantasma" i fotoni che viaggiano lungo i loro percorsi (speciali, geodetiche nulle), nella piega F*.
La luce emessa dalla materia, nella piega F, non può essere ricevuta dalla materia fantasma, poiché i fotoni non possono passare dalla piega F alla piega F*.
La "luce fantasma", emessa dagli "atomi fantasma" nella piega F*, non può essere ricevuta dalla materia, situata nella piega F, poiché i fotoni fantasma non possono passare dalla piega F* alla piega F.
In conclusione, gli oggetti situati in F* sono otticamente invisibili dalla piega F, e viceversa. Assumiamo che questi due mondi comunichino solo attraverso la gravitazione.
L'invisibilità degli oggetti dell'altra piega si basa su motivi puramente geometrici.
Introduzione di un sistema di equazioni di campo.
La relatività generale classica era governata dall'equazione tensoriale di campo di Einstein:
(129)
S = c T
Il tensore T può essere considerato come l'input del problema, la domanda essendo:
- Quale geometria va con un dato campo di energia-materia?
Una geometria è (localmente) interamente contenuta in un oggetto matematico chiamato metrica g (che è un tensore), dal quale possiamo costruire il "tensore geometrico S", e risolvere l'equazione di campo.
Dal tensore metrico g possiamo anche costruire il sistema geodetico dell'ipersuperficie-soluzione e "leggerlo".
Qui abbiamo due ipersuperfici interagenti, ciascuna con la propria metrica. Chiamiamo g la metrica dell'ipersuperficie F (piega F) e g* la metrica dell'ipersuperficie F* (piega F*).
L'ipotesi delle curvature coniugate dà:
S* = - S
S essendo il tensore geometrico costruito dalla metrica g e S* il tensore geometrico costruito dalla metrica g*.
(ma questo non implica g* = - g).
L'ipotesi delle curvature opposte è giustificata nell'articolo:
J.P.Petit & P.Midy: Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4: The Twin group. Geometrical description of Dirac's anti-matter. Geometrical interpretations of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B, 4, march 1998.
su argomenti di teoria dei gruppi.
Geometria indotta.
La figura (128) corrisponde a un effetto di geometria indotta. La materia è presente nella piega F, all'interno del bordo (circolare). Corrisponde all'area grigia. In 3d questa materia riempirebbe una sfera con densità costante.
La piega F* è totalmente vuota. All'interno del bordo circolare, di fronte al disco grigio, che appartiene a F, manteniamo la superficie bianca. Ciò significa che questa curvatura negativa è dovuta alla presenza di una massa nell'altra piega. Questa è una geometria indotta.
In (128) la massa è in F. Possiamo descriverla con un tensore T (contenuto locale di energia-materia). Le geometrie corrispondono alle equazioni:
S = c T
S* = - c T
cioè:
S* = - S
Da questo sistema si calcolano le geodetiche delle due pieghe (vedi Geometrical Physics A, 5).
Punto importante:
Considera una geodetica della piega F e la curva composta dai suoi punti coniugati M* sulla piega F*. Non formano una geodetica di F*
(131)
Viceversa, considera una geodetica della piega F* e la sua immagine, punto per punto (punto coniugato) nella piega F. Questa non è assolutamente una geodetica della piega F.
(132)
Abbiamo dato al nostro Universo (supposto essere la piega F) un fratello gemello (supposto essere la piega F*). Abbiamo assunto che il nostro Universo contenga massa positiva, che produce curvatura positiva in questa piega F (o curvatura nulla nelle regioni dove non è presente energia-materia).
Abbiamo assunto che il sistema produca una geometria indotta nella piega gemella F*, con curvatura negativa o nulla (curvatura coniugata).
Le due geometrie sono supposte obbedire al sistema di equazioni di campo.
(133)
S = c T
(134)
S* = - c T
dove T è supposto descrivere il contenuto di energia-materia della piega F.
Dalle geodetiche proiettate (fig. 128) vediamo che una massa situata nella piega F attrae una particella di prova che viaggia in quella piega, ma respinge una particella di prova che viaggia nella piega gemella F*, lungo una geodetica di questa, come se respingesse la materia che potrebbe essere situata in quella piega gemella F* (supposta seguire le geodetiche di questa piega).
I fotoni fantasma seguono le geodetiche (nulle) della piega F*. Come possiamo vedere, la presenza di una massa M nella piega F produce un effetto di lente gravitazionale negativa nella piega F*.
Abbiamo costruito la soluzione matematica esatta del suddetto sistema di equazioni di campo. Vedi:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, march 1998.
Nella piega F la soluzione corrisponde alla classica cosiddetta soluzione di Schwarzschild. Suggeriamo di chiamare la soluzione metrica coniugata, che descrive la geometria della piega F*: "nega-Schwarzschild".
