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La curvatura (positiva).
...Quando avevamo tracciato il nostro triangolo, formato da linee geodetiche, su un piano, la somma dei suoi angoli era pari a p. Un piano... è una superficie piana, "non curva", euclidea. La somma degli angoli di questo triangolo è quindi la somma euclidea. Nell'esperimento precedente abbiamo visto che se un triangolo non conteneva il vertice del nostro cono, la somma rimaneva euclidea. Al contrario, quando il triangolo contiene il vertice S, allora questa somma presenta un eccesso q, indipendentemente dal triangolo, purché contenga quel punto. Diremo che il vertice del cono è un punto di curvatura concentrata.
...Possiamo ora passare ad altre esperienze. Dopo aver costruito due coni, con tagli q1 e q2, possiamo incollare questi due elementi di superficie l'uno all'altro.
...Un modo più semplice consiste nel fare due tagli su un foglio di cartoncino e costruire la seguente superficie:
Potrete quindi tracciare su questa superficie quanti triangoli geodetici volete:
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Che non racchiudano né S1 né S2: somma degli angoli: p
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Che racchiudano solo S1: somma degli angoli p + q1
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Che racchiudano solo S2: somma degli angoli: p + q2
-
Che racchiudano entrambi i punti S1 e S2: somma degli angoli: p + q1 + q2
...È facile immaginare di poter costruire un gran numero di piccoli coni con angolo Dq piccolo e incollarli l'uno all'altro. Si potrebbe perfino riuscire a ottenere una densità di curvatura costante per unità di superficie, assimilando questa curvatura alla somma dei Dq associati a ogni vertice di questi piccoli coni.
...Riducendo sempre di più questi piccoli coni (così come l'angolo elementare Dq ad essi associato), possiamo utilizzare questo metodo per costruire una porzione di superficie a densità di curvatura costante.
La sfera è una superficie a densità di curvatura costante. Diremo più semplicemente a curvatura locale costante.
Un uovo è una superficie curva, a densità di curvatura variabile. Diremo più semplicemente a curvatura locale variabile.
...La Relatività Generale consiste nell'identificare densità di massa r e curvatura locale. Naturalmente, la Relatività Generale non tratta di superfici a due dimensioni, né tantomeno a tre, ma di ipersuperfici a quattro dimensioni. Non dobbiamo quindi pretendere troppo da quanto precede, e dovremo considerare queste figure solo come immagini didattiche, destinate a fissare le idee. Ma non sono poi così male.
Immagine didattica 2d di un astro.
Un astro, come il Sole, è una concentrazione di materia, circondato, se non dal vuoto, almeno da un quasi-vuoto (quindi da una regione a curvatura molto debole). In due dimensioni l'immagine didattica sarà quella di un cono smussato.
...Un cono smussato è costruito con due elementi: una calotta sferica, a curvatura costante (o a "densità di curvatura costante") e un tronco di cono. Il tronco di cono è "piatto", la sua densità di curvatura è nulla. È una superficie euclidea. È l'immagine didattica 2d di un astro a densità di massa r costante.
...Potremmo, a margine, chiederci come raccordare perfettamente un tronco di cono e una calotta sferica, in modo che il piano tangente sia continuo.
...È semplice. Il tronco di cono è costruito a partire da un cono, il quale implica un taglio di un angolo q. La calotta sferica contiene una certa "quantità di curvatura", che è anch'essa un angolo. È la somma di tutti gli angoli dei piccoli coni che la costituiscono. Questi due angoli devono essere uguali.
Ma come valutare la quantità di curvatura contenuta in una data calotta sferica?
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