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Curvatura totale.
** ...Possiamo costruire una sfera accostando delle mini posicônes. Ma in questa operazione, questa superficie a curvatura (o densità di curvatura o curvatura locale) costante si chiuderà. Quindi contiene una certa curvatura, ma quale?
...Se traccio un triangolo geodetico su una sfera, esso racchiuderà un certo numero di mini posicônes, una certa "quantità di curvatura", che è un angolo. Questa sarà semplicemente proporzionale all'area del triangolo, o più precisamente al rapporto tra l'area s del triangolo e l'area S della sfera.
...Ma abbiamo visto in precedenza che quando tracciamo un triangolo geodetico su una superficie costruita accostando posicônes, l'errore rispetto alla somma euclidea è uguale alla somma delle curvature concentrate legate a ogni vertice dei coni contenuti nel nostro triangolo. Basta quindi misurare la somma degli angoli a, b, g del triangolo sopra, costruito con tre archi geodetici di sfera, per ottenere una misura della quantità di curvatura angolare contenuta in questo triangolo. Le geodetiche della sfera sono i suoi "grandi cerchi".
...Tagliamo la nostra sfera in otto parti uguali. Otterremo otto triangoli formati da archi geodetici, i cui tre angoli saranno retti.
...Ognuno di questi triangoli contiene quindi una curvatura pari a p/2. Poiché ne abbiamo otto, la curvatura totale della sfera vale quindi 4p.
...Questa piccola osservazione per mostrare che possiamo costruire risultati geometrici con ragionamenti estremamente semplici.
...Tornando al tema del cono smussato, si vede che il fianco dell'oggetto dipende dalla quantità di curvatura "contenuta all'interno", questa curvatura potendo essere puntiforme (punto conico) o distribuita su una calotta sferica. Possiamo far tendere la calotta verso un punto, riducendola in modo omotetico (in modo tale che contenga sempre la stessa "quantità di curvatura").
Traiettorie.
...Nella Relatività Generale l'idea chiave è semplice: assimilare le traiettorie degli oggetti, delle particelle, dei fotoni o della materia a geodetiche. Naturalmente, si tratta di geodetiche di un'ipersuperficie a quattro dimensioni. Quindi qui abbiamo solo immagini didattiche.
Se prendiamo il nostro cono smussato possiamo tracciarvi sopra delle geodetiche e proiettarle su un piano.
...Tutte le particelle seguono geodetiche dell'ipersuperficie: le particelle di materia, ma anche i fotoni e i neutrini. È per questo che ci siamo divertiti a rappresentare una geodetica che attraversa completamente l'oggetto. Un neutrino può attraversare il Sole senza problemi.
...Ma che cos'è questo piano su cui proiettiamo queste geodetiche? È il modo in cui rappresentiamo lo spazio. Il nostro "universo mentale" è completamente euclideo e la nostra mente "piatta". Quando vediamo una cometa sfiorare il Sole, non ci verrebbe mai in mente che in realtà va "dritta", cioè segue una geodetica dell'ipersuperficie. La nostra percezione del mondo è la figura 24', dove un astro "attira" gli oggetti che passano nel suo vicinato.
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