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Geometrie coniugate.
...Ora assoceremo un posicone smussato e un "negaccone smussato", che presentano la stessa quantità di curvatura, ma segno opposto: + q e - q. Possiamo metterli fronte a fronte (creando nel frattempo un' "applicazione punto a punto": biunivoca, iniettiva). Ci saranno allora due foglie. Chiamiamole F e F*. A ogni punto di F corrisponde un punto di F*.
...Proviamo a far sì che i contorni circolari delle "parti smussate", portatrici di curvatura (positiva in una foglia, negativa nell'altra), si corrispondano punto a punto. Illustriamo ciò proiettando tutto su un piano. Otteniamo due superfici con curvatura coniugata.
...I fianchi conici sono "non curvi", sono elementi di superfici euclidee. Diremo che in ogni punto di queste superfici la curvatura locale è nulla. La calotta sferica e la sella di cavallo si corrispondono punto a punto. Le loro curvature sono opposte.
La Relatività Generale.
...Il punto di partenza è l'idea che la geometria del cosmo sia determinata dal suo contenuto in "energia-materia". Notiamo che si utilizza il termine energia-materia e non solo materia, il che mostra chiaramente che ogni contenuto cosmico ha un'influenza sulla geometria, compreso il radiazione, i fotoni (o i neutrini). Abbiamo visto in precedenza che un fotone crea una minima curvatura positiva nello spazio.
...Ragioneremo dapprima in regime stazionario. Una superficie piana, libera, è una superficie in cui la tensione è nulla. Possiamo modificare la sua geometria creando tensioni, positive o negative (il segno è una questione di convenzioni). Se, ad esempio, riscaldiamo un film plastico, potremo far apparire una gobba, cioè una regione a curvatura positiva.
...Posso anche applicare sulla superficie di un foglio di carta un prodotto che, asciugandosi, si contrarrà. La tensione farà apparire una regione a curvatura negativa.
...Un falegname sa giocare su queste tensioni per deformare una lamiera. Prendiamo ad esempio un tubo metallico. Riscaldiamo un lato, raffreddiamo l'altro. Cosa succederà?
Il tubo si curverà, la parte riscaldata si dilaterà e la parte raffreddata si contrarrà.
...In questo modo abbiamo creato delle tensioni nel metallo. È l'origine della parola tensore, in matematica e geometria. Il specialista della resistenza dei materiali parlerà di tensore delle tensioni. Il geometra parlerà di tensore di curvatura.
L'esperimento sopra illustra l'idea:
Contenuto locale in energia -----> geometria locale
...In Relatività Generale, si procede allo stesso modo. La differenza è che questo contenuto locale in energia-materia determina la geometria di un'ipersuperficie a quattro dimensioni e non, come qui, la geometria di una superficie a due dimensioni. Ma l'idea è simile.
...Il matematico utilizzerà allora una scrittura tensoriale. Non si può dire di più qui per un non-matematico. Ma il tensore di Einstein S (useremo lettere grasse) corrisponde all'aspetto geometria. Nell'equazione di Einstein lo si identifica con un altro tensore T, che descrive il contenuto in energia-materia, a una costante moltiplicativa vicina, la "costante di Einstein c".
L'equazione famosa di Einstein si scrive quindi:
**S **= c T
...Nel tensore T intervengono la densità volumetrica r e la pressione p (in realtà il tensore T più generale è più complesso, ma ci accontenteremo di questa espressione, comune comunque). In una configurazione stazionaria si darà quindi una certa distribuzione di densità e pressione r (x,y,z), p (x,y,z). Con questi dati si sa costruire il tensore T che contiene così tutte le informazioni del problema. La domanda è allora: "quale è la geometria che corrisponde a questo tensore T, soddisfacente l'equazione sopra indicata?"
...In altre parole, il fisico, conoscendo il contenuto locale dell'universo, cerca di determinare la geometria dell'ipersuperficie universale.
Chi parla di geometria parla di geodetiche. È qui che interviene la seconda ipotesi della Relatività Generale:
Si assume che gli oggetti che si muovono nell'universo
seguano delle geodetiche dell'ipersuperficie spazio-tempo.
Per oggetto si intenderanno particelle (particelle dette elementari, fotoni, neutrini) ma anche pianeti, stelle, ecc.
A questo punto una nota: dove sono le particelle in tutta questa storia?
...Risposta: il specialista della Relatività Generale opera a livello macroscopico. Le funzioni-input del problema, la densità volumetrica r e la pressione p, corrispondono a una descrizione macroscopica del contenuto cosmico. Stesso discorso per l'output. E il geometra aggiunge:
- Mi hai dato delle funzioni r (x,y,z) e p (x,y,z), ti ho costruito l'ipersuperficie corrispondente, con le sue famiglie di geodetiche. Ma non posso fare di più. In particolare, non sono in grado di costruirti particelle, atomi, ecc. Per questo, rivolgiti a un altro servizio...
In breve: il ponte tra la Relatività Generale e la fisica delle particelle non è ancora costruito.
Ma l'astronomo si dirà:
- Che importa. Quest'ipotesi secondo cui i fotoni seguono certe geodetiche di questa ipersuperficie funziona. La prova: posso fare osservazioni. Se assumo che i pianeti, assimilati a masse puntiformi, seguano anch'essi delle geodetiche di questa ipersuperficie, posso costruire le loro traiettorie. Ci sono anche gli effetti di lente gravitazionale...
Ha ragione.
...Questi effetti di lente gravitazionale, diciamo qualche parola in più. Naturalmente, questa immagine del cono smussato è solo un'immagine didattica. Un pianeta che orbita circolarmente attorno a una stella segue anch'esso una geodetica dello spazio-tempo. Ora, un cerchio tracciato su un cono smussato non è una geodetica:
Questo mostra semplicemente i limiti delle immagini didattiche, anche se geometriche.
...I fotoni seguono effettivamente delle geodetiche dell'ipersuperficie spazio-tempo. Potremo servirci di questa immagine del cono smussato per illustrarla. I raggi luminosi possono passare da una parte e dall'altra di un oggetto massiccio, poi convergere verso l'osservatore. Se proiettiamo queste geodetiche, otterremo un effetto di miraggio: l'osservatore avrà l'impressione che ci siano due sorgenti invece di una:
../../../bons_commande/bon_global.htm
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