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Invarianza rispetto al cambiamento di coordinate.
...Ecco un concetto fondamentale della Relatività Generale, che non è facile da presentare. Abbiamo detto che cercare una "soluzione cosmologica", stazionaria o non stazionaria, equivale a costruire un'ipersuperficie a quattro dimensioni che sia "soluzione dell'equazione di campo".
...Prendiamo ad esempio un oggetto in lamiera che abbia la topologia della sfera. È "una sfera di lamiera". Ancora una volta si immagina bene che si possa deformare questa superficie riscaldando e raffreddando in punti diversi. Ad esempio riscaldando in un punto e raffreddando la regione antipodale si trasformerebbe questa sfera in un uovo. Un uovo è un oggetto che ha la topologia della sfera, ma è una superficie a curvatura variabile.
...Riscaldando in un punto e raffreddando in un altro, si creeranno delle tensioni nel metallo. Naturalmente, poiché questo materiale è conduttore, se si smettesse di riscaldare e raffreddare, la temperatura si omogeneizzerebbe e l'oggetto riprenderebbe la sua forma sferica. Ciò che conta è riuscire a creare una situazione stazionaria con un campo di temperatura non uniforme. Questo campo genera delle tensioni e si potrebbe concretizzare queste tensioni sotto forma di un oggetto matematico T chiamato tensore.
Qualcosa descrive la geometria dell'oggetto. Questo si chiama una metrica. A partire da questo secondo oggetto matematico si può:
- Calcolare il tensore geometrico S – Calcolare le geodetiche della superficie.
La geometria di questa superficie potrebbe essere calcolata a partire da un'equazione analoga all'equazione di Einstein, del tipo:
S = a T
dove a è una costante. Conoscendo a priori il campo di temperatura nella lamiera, quindi il tensore delle tensioni, si potrebbe dedurne la sua geometria. Il modo migliore per "leggere" questa geometria sarebbe analizzare poi il sistema delle geodetiche. Conosciamo quelle della sfera (i suoi "grandi cerchi"). Le geodetiche di un uovo sono diverse.
...Per descrivere queste geodetiche avremo bisogno di definire un sistema di coordinate sulla superficie. Per la sfera si può prendere il classico sistema azimutale.
...In questo sistema di coordinate particolare, le geodetiche della sfera corrisponderebbero a certe equazioni.
Su questa sfera le curve q = cost rappresentano la famiglia di geodetiche che passano per due punti. Al contrario, le curve j = cost (paralleli) non sono geodetiche della superficie.
...Si potrebbe anche definire un sistema di coordinate analogo e scrivere le equazioni delle geodetiche della superficie "uovo". Ma si nota subito una cosa essenziale: le geodetiche della superficie sono indipendenti dalle coordinate scelte per descriverle, così come i punti di una sfera o di un uovo esistono indipendentemente dal sistema di coordinate usato per individuarli.
...Allo stesso modo, su un piano si possono rappresentare punti in coordinate cartesiane o in coordinate polari. Le rette del piano sono geodetiche.
Una retta può essere descritta in due sistemi di coordinate:
...Si tratta della stessa geodetica, con due descrizioni totalmente diverse. Le rette del piano esistono indipendentemente dal modo in cui vengono descritte, dallo scelta delle coordinate utilizzate. E se ne possono immaginare... un numero infinito.
...Allora, cosa è intrinseco? Risposta: la lunghezza s misurata su una retta (o lungo un qualsiasi percorso curvilineo). Tra due punti M1 e M2 di una superficie il percorso di lunghezza minima è una geodetica.
...Allo stesso modo, la distanza che separa due punti, lungo una geodetica degli oggetti "sfera" o "uovo", è anch'essa una grandezza indipendente dal sistema di coordinate scelto. Se si prendono due punti M1 e M2 su una superficie e si traccia l'arco geodetico che li collega, la lunghezza s misurata lungo questo arco sarà la stessa, indipendentemente dal sistema di coordinate usato per individuare i punti.
...Lo stesso vale per l'ipersuperficie a quattro dimensioni che chiamiamo "universo". Essa possiede il suo sistema di geodetiche, anch'esso invariante rispetto al cambiamento di coordinate. Non abitiamo in uno spazio (x, y, z, t) con coordinate di posizione e una coordinata temporale, ma in un'ipersuperficie quadridimensionale che può essere completamente descritta dal suo reticolo di geodetiche. Su queste geodetiche esiste una lunghezza s che è anch'essa invariante rispetto al cambiamento di coordinate. I punti di questa ipersuperficie non sono più punti nello spazio, ma punti di un'ipersuperficie spazio-tempo. Li chiamiamo eventi. Due eventi distinti sono quindi separati da qualcosa che chiamiamo s. Ma cos'è?
È il tempo proprio.
...Una traiettoria geodetica in questa ipersuperficie spazio-tempo separa due eventi M1 e M2. Tutto ciò che posso dire è che se avessi usato un veicolo per compiere questo percorso nello spazio-tempo, sarebbe trascorso un intervallo di tempo s, sul mio orologio di bordo.
Una scelta di coordinate consiste nel localizzare i punti dello spazio-tempo tramite coordinate spaziali (x, y, z) e una coordinata temporale t. Ma poiché questa scelta è arbitraria, lo spazio e il tempo non hanno un'esistenza intrinseca. Sono solo modi per "leggere" la superficie, per percorrerla. Unica restrizione: in base all'ipotesi fatta, ci si può muovere solo lungo geodetiche e su queste ultime, l'unica cosa affidabile a cui aggrapparsi è il "tempo proprio trascorso" s, e non questo tempo t, semplice sistema di riferimento cronologico (chronological marker).
Per ogni scelta del sistema di coordinate, un sistema diverso di lettura degli eventi, dei fenomeni.
...I fisici hanno quindi cercato un formalismo indipendente dalla scelta delle coordinate. È l'essenza del formalismo tensoriale. Non si può dire di più su questo argomento, altrimenti si entrerebbe in dettagli tecnici relativamente complessi.
Il problema delle singolarità.
Su una sfera, la scelta classica di coordinate angolari introduce due singolarità polari.
È impossibile mappare una sfera senza introdurre questo tipo di singolarità polari.
...Va notato che si può mappare una sfera con una singolarità unica. Si crea sulla sfera una prima famiglia di curve (cerchi) tagliandola con piani, come indicato di seguito:
Poi una seconda famiglia:
Oltre a questa singolarità unica, non ci sono problemi. Se si guardasse la sfera dall'altro lato, si vedrebbe questo:
...Oltre all'unica singolarità S, si possono individuare i punti senza difficoltà. Ma i valori dei parametri a e b che definiscono questa singolarità di griglia S sono... qualunque cosa.
...Tuttavia, una sfera non è geometricamente, intrinsecamente singolare. Girate una palla da biliardo in tutti i modi, o un uovo, non ne troverete alcun punto singolare.
Queste singolarità sono state quindi create dalla scelta delle coordinate.
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