f110
| 10 |
|---|
- *Spazio di rappresentazione.
...Si era visto che un cilindro era una superficie sviluppabile. Prendete ora un foglio di carta. È una superficie piana, euclidea. Le sue geodetiche sono rette. Tracciate alcune rette su questo foglio, poi accartocciatelo.
...Se poteste rigidificare questa superficie piana accartocciata, vi accorgereste che quest'operazione non ha affatto modificato la distribuzione delle sue geodetiche, che potreste nuovamente tracciare con il vostro nastro adesivo. Avete semplicemente giocato con il modo di rappresentare questo piano nel suo spazio di immersione tridimensionale.
Un modo meno complicato di procedere consiste nel trasformare una lamiera in... lamiera ondulata:
Geodetiche: invariate.
...Gli oggetti geometrici esistono indipendentemente dal modo in cui li rappresentiamo, indipendentemente dal loro spazio di rappresentazione.
...Siamo supposti abitare in una "ipersuperficie quadridimensionale": lo spazio-tempo. La Relatività Generale consiste nel tentativo di costruire la sua geometria, come soluzione di un'equazione di campo, e poi "leggere" questa geometria, analizzando le geodetiche dell'ipersuperficie. È evidente che a questo punto non si parla più di spazio di rappresentazione. Per farlo sarebbe necessaria una visione in cinque dimensioni, che non possediamo.
...Nella pratica, utilizziamo coordinate che sono quelle dello spazio euclideo, di proiezione. Immaginiamo che stiamo cercando una soluzione geometrica adatta a descrivere lo spazio-tempo nelle vicinanze di un corpo massiccio e all'interno di esso. Supporremo che il sistema abbia simmetria sferica. Inoltre supporremo che il sistema sia stazionario (o quasi-stazionario).
...Useremo allora le coordinate sferiche (r, q, j). In due dimensioni ne avremo solo due e la nostra simmetria sarà circolare. Useremo allora il sistema delle coordinate polari del piano:
...Questo modello del corpo appiattito è un'immagine didattica bidimensionale di una soluzione stazionaria che esiste effettivamente nella Relatività Generale e che fu inventata dall'austriaco Schwarzschild nel 1917 come soluzione particolare dell'"equazione di Einstein":
S = c T
già presentata in precedenza. Questa soluzione è intelligente e sottile. Dal punto di vista computazionale, non è semplice da costruire. Questa precisazione per cercare di dissipare un mito: quello di un Einstein, genio isolato nel mondo del suo tempo, popolato da ignoranti.
...A partire da questa soluzione si dimostra poi che esistono, attorno a una massa con simmetria sferica, geodetiche piane, situate in piani, e si sa calcolarne la forma: r = f(q). Queste traiettorie (o almeno la loro proiezione nel nostro spazio mentale di rappresentazione, euclideo) sono "quasi kepleriane" e le leggi di Keplero appaiono allora come un'approssimazione, quando la massa che crea questa geometria (nella visione newtoniana, questa "forza") rimane moderata, cioè quando la curvatura locale, in questa massa, rimane debole.
...Questa soluzione è uno dei pilastri della Relatività Generale e, anche se non può essere evocata con semplici immagini didattiche come quelle che offriamo al lettore, è proprio grazie a essa che si può prevedere e calcolare, ad esempio, l'anticipo del perielio di Mercurio. Einstein si servì di questa soluzione per spiegare questo effetto, già noto, e in un colpo solo raccolse tutti i meriti di ciò che da allora in poi fu chiamato "la teoria di Einstein". Perché Schwarzschild non sfruttò lui stesso la sua scoperta? Perché volle assolutamente arruolarsi e partire sul fronte, dove fu avvelenato e morì poco dopo.
...Anche se non siamo molto sicuri che questa celebre equazione di Einstein sia davvero sua. Pare che gli sia stata suggerita dal grande matematico Hilbert. Einstein non accolse neppure con entusiasmo la successiva scoperta del russo Friedmann, che scoprì, lui, la soluzione non stazionaria dell'equazione di campo in grado di descrivere l'evoluzione dell'universo. Stesso discorso, nel 1921, per i lavori del giovane matematico Kaluza, i cui studi, riscoperti, costituiscono oggi il punto di partenza della teoria delle superstringhe. Queste cose sono scientificamente di poco interesse e non diminuiscono affatto il valore di Einstein, ma mostrano che lo spirito sportivo non va necessariamente di pari passo con il valore scientifico di un individuo.
Nella soluzione sviluppata da Schwarzschild, tecnicamente, lo spazio è diviso in due parti. All'interno dell'astro la densità di materia r è supposta costante. Il tensore energia-materia T, di cui dipende, è anch'esso non nullo. All'esterno r e T sono nulli.
...Questa geometria composta è quindi soluzione di due equazioni diverse, con o senza termine noto. La densità di materia presenta una discontinuità alla superficie dell'astro (è lo stesso caso per la coppia soluzione interna di Schwarzschild e soluzione esterna di Schwarzschild). In questo caso l'astro è una sfera di densità costante e questa scende bruscamente a zero alla superficie dell'astro. Tuttavia la continuità delle geodetiche può comunque essere garantita, attraverso condizioni matematiche le cui immagini sono state già mostrate in precedenza (giunzione tronco di cono-cupola sferica).
...Quando la massa diventa grande e gli effetti di curvatura sono pronunciati, le traiettorie si discostano in modo più netto dal modello kepleriano, ad esempio nelle vicinanze di una stella di neutroni. Di seguito l'anticipo del perielio attorno a un tale astro (attorno al Sole, l'ellisse della traiettoria di Mercurio avanza di 0,15 gradi al secolo).
...La formula e il programma che permettono di calcolare queste traiettorie non hanno però nulla di complicato. Un giorno li forniremo su questo sito, per i curiosi.
...Al momento stiamo posando alcuni pilastri geometrici in vista di discussioni future, ricordando che i modelli indicati hanno solo un carattere indicativo.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Sommaire
article Sommaire
Science Pagina
d'Accueil
Pagina precedente Pagina
successiva
Numero di consultazioni di questa pagina dal 1° luglio 2004: