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Potenziali problemi derivanti dalla scelta di un sistema di coordinate.
...Vogliamo esaminare i rischi legati all'applicazione di un sistema di coordinate a una soluzione geometrica, esprimendo questa soluzione in un particolare sistema di coordinate: occorre che tale sistema sia adeguato. Quando osserviamo la soluzione sopra riportata, supponendo che questa geometria sia soluzione di un'equazione di campo, l'uso di un sistema di coordinate (r, q) presupponga che la topologia fosse "localmente sferica", ovviamente in due dimensioni. Cioè, all'interno di ogni cerchio "centrato su questo centro geometrico ipotetico" si potrebbe sempre inscrivere un cerchio più piccolo, fino a che questo cerchio non diventi un punto. Matematicamente si direbbe che ogni cerchio di raggio r delimita una "cellula contrattile".
...In 3D, localmente, l'universo sarebbe "come una bambola russa". All'interno di una sfera si potrebbe sempre inscrivere una sfera con area minore. In 3D si tratta di una topologia localmente sferica.
Può essere diversamente?
Sì, se la topologia della superficie è "localmente torica". In 2D ciò dà questo risultato:
...Osservazione: l'oggetto della figura sopra riportata è una superficie 2D nel senso che occorrono due parametri per individuare la posizione di un punto. In questo senso una curva è una "superficie a una dimensione". Quando il geometra parla di cerchio, userà l'espressione "sfera S1", cioè "sfera a una sola dimensione": basta un unico parametro, l'ascissa, per individuare un punto su una curva, oggetto unidimensionale. La sfera S2, la sfera "ordinaria", e il cerchio, la sfera S1, hanno qualcosa in comune: sono oggetti "chiusi" (concetto poi preso dalla topologia).
...Il numero di grandezze necessarie per definire la posizione di un punto in uno spazio è esattamente la definizione della dimensione di tale spazio. Così lo spazio-tempo (x,y,z,t) sarà considerato un'iper-superficie a quattro dimensioni, perché occorrono quattro grandezze per definire un punto, detto "evento".
Fine di questa osservazione sul concetto di dimensione.
...Bisogna tenere bene a mente una cosa. Il geometra che costruisce una soluzione particolare di un'equazione di campo è cieco, non può vedere l'oggetto geometrico che ottiene. Può solo esplorarlo, attraverso le sue geodetiche, descrivendole in un sistema di coordinate particolare. Le coordinate polari di prima corrispondevano all'intersezione della superficie con una famiglia di cilindri coassiali:
e con una famiglia di piani passanti per l'asse comune di questi.
In 3D si tratterebbe dell'intersezione dello spazio con una famiglia di sfere concentriche.
...Ma cosa succede se si taglia la superficie con questo tipo di ponte tubolare con una famiglia di cilindri concentrici? Finché i cilindri intersecano la superficie, va tutto bene. Ma quando il loro perimetro diventa inferiore a quello del "cerchio della gola", le sezioni diventano delle... curve immaginarie. Sia p il perimetro del cerchio della gola. Associamogli una lunghezza Rg tale che p = 2πRg.
...È chiaro che ogni cilindro della famiglia tale che r < Rg non interseca la superficie. Quando il geometra si interesserà all'aspetto delle geodetiche della superficie per r < Rg troverà oggetti geometrici immaginari.
...Quando si cerca l'intersezione di due punti con una retta, ad esempio corrispondente a x = xo, si trovano due valori reali per y, quando la retta interseca effettivamente il cerchio. Altrimenti questi valori sono puramente immaginari.
...Se un uomo, che esplora una superficie al buio, senza poterne percepire la forma, ignora che la topologia di questa sia localmente torica, potrebbe essere estremamente sconcertato. La superficie può essere individuata mediante due famiglie di curve:
...Ogni curva è definita da un parametro. Un punto M, all'intersezione di queste due curve, è ben definito da due quantità (a,b), i due valori delle curve passanti per M.
...La prima è costituita da cerchi che non sono geodetiche della superficie (eccetto il cerchio della gola), la seconda da geodetiche di forma iperbolica, ortogonali a questi cerchi. Le curve iperboliche evocano traiettorie che si immergono, permettendo di passare da una falda all'altra. È ovviamente possibile avere la stessa situazione in uno spazio 3D, localmente ipertorico. I cerchi saranno sostituiti da una famiglia di sfere, tra le quali si troverà una sfera della gola, di area minima. Le linee che costituiscono le traiettorie ortogonali a questa famiglia di sfere costituiscono traiettorie che si immergono, permettendo di passare attraverso questo tunnel ipertorico e riapparire in un'altra falda (o foglio) 3D.
...Questa osservazione non è gratuita. Avremo occasione di tornarci quando esamineremo il modello del buco nero. Infatti, in questo modello, quando si penetra "all'interno della sfera orizzonte", la massa di una particella diventa... puramente immaginaria (e molte altre cose ancora). Allora ci si può chiedere se si è ancora all'interno dell'iper-superficie spazio-tempo. Il particolare scelta di coordinate (t, r, q, j), che implica una topologia localmente ipersferica (esistenza di una coordinata radiale r in grado di assumere valori inferiori al raggio della sfera orizzonte, della sfera di Schwarzschild), sarebbe pertinente?
Un noto astrofisico scrisse, qualche anno fa:
- Sappiamo ora molto di più sull'interno dei buchi neri.
Ma i buchi neri, se esistono, hanno un'interno, oppure corrispondono a una topologia localmente ipertorica?
...Si vede quanto possa indurre un errore una scelta di sistema di coordinate. La soluzione geometrica esiste. Ha delle geodetiche. Ma non sappiamo "leggere" tutto ciò se non proiettandolo nel nostro spazio mentale di rappresentazione: uno spazio-tempo euclideo, che non è neanche relativistico. Scegliere un sistema di coordinate significa scegliere un sistema di lettura, un sistema di proiezione.
...Come i personaggi di Platone, possiamo vedere solo ombre su uno "schermo euclideo". Bisogna solo scegliere il giusto obiettivo del "sistema di proiezione".
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