Geometria della sfera e delle semirette

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Il contesto geometrico.

...Una sfera è uno spazio di dimensione 2. Per individuare un punto sono necessari due parametri. È uno spazio che ha una topologia (per ulteriori dettagli sul significato della parola topologia, vedere la mia striscia fumettistica Il Topologicon, Ed. Belin). Una sfera non ha la stessa topologia, la stessa "forma", di un toro. La sfera possiede geodetiche. Si può disegnare un percorso che colleghi due punti M1 e M2 e misurare la lunghezza s percorsa. Questa lunghezza è indipendente dalle coordinate scelte per individuare i punti, così come le curve geodetiche che popolano la superficie.

...Colleghiamo il centro di questa sfera con tutti i suoi punti. Otteniamo un'infinità di semirette. Queste possono essere individuate con lo stesso sistema di coordinate usato per i punti, ad esempio due angoli q e j.

Qui sopra la nostra sfera. Abbiamo praticato un foro per mostrare l'insieme dei raggi vettori.

Ora rimuoviamo la sfera e conserviamo solo i raggi vettori.

...Abbiamo troncato queste semirette, ma in realtà sono infinite. Ognuna è definita soltanto dalla data di due parametri, ad esempio due angoli. La struttura metrica è scomparsa. Più geodetiche, più lunghezze. Cosa resta?

• Ogni semiretta ha un intorno. Si possono selezionare semirette vicine per racchiuderla in una sorta di cono. All'interno di questo cono si può disegnare uno più stretto, che contiene la semiretta. È una questione di cerchi concentrici o di bamboline russe, ma con fasci di semirette. Tuttavia non si tratta di tracciare geodetiche su questi coni. Ogni loro generatrice è semplicemente un insieme di due parametri, ad esempio due angoli.

• Si distingue un'idea intuitiva di differenziabilità. Non c'è discontinuità in questa "texture".

Prendiamo una superficie piana, con geodetiche, lunghezze ecc...

...Qualunque sistema di coordinate scelga, dovrò sempre individuare la posizione dei miei punti con due numeri reali (x,y), (r,q), ecc...

Questi numeri reali appartengono a R2, cioè all'insieme delle coppie di numeri reali, come (3,8705, -17,56). Ogni coppia di punti presa in questo spazio delle coppie di numeri reali ha un intorno. È "continuo".

Questi oggetti "pre-metrici" sono chiamati varietà (i matematici hanno il talento di scegliere parole che non evocano nulla per un uomo della strada).

...A questo punto si può quindi saltare il passo che consiste nel considerare un insieme di n numeri reali (spazio a n dimensioni), senza attribuirgli automaticamente l'idea di lunghezza o di geodetiche.

...È un po' come se si considerasse una superficie i cui punti avessero come unica restrizione quella di mantenere il contatto con i vicini. Sarebbe infinitamente elastica e deformabile. Per convenzione, se rappresentiamo una superficie con il suo contorno (sia il suo bordo, sia il suo contorno apparente), evocheremo questo concetto "mobile" di varietà semplicemente rimuovendo il contorno:

...Questa immagine evoca infatti l'ombra dell'oggetto. E un'ombra non ha né consistenza né forma. La sua geometria dipende dall'oggetto su cui si proietta.

Si può anche immaginare la varietà (in inglese manifold), senza la sua metrica, come una famiglia di rette.

...Qui abbiamo disegnato delle rette che sembrano parallele. In realtà queste rette dovrebbero essere... in qualsiasi posizione, mantenendo però le relazioni di vicinanza, di intorno.

...In definitiva, un'immagine adeguata di una varietà V2 è un fascio di spaghetti che si cuoce prima, poi si può piegare e torcere in ogni direzione, senza modificare l'ordinamento delle paste l'una rispetto all'altra.

Comunque, si può effettuare su una varietà un'operazione di rivestimento a due fogli, che si dotano di metriche, suggerita dall'immagine qui sotto:

Qui due fogli 2D dotati di metriche identiche (euclidee). Ma si può anche fare:

...Chiameremo M e M* dei punti coniugati. Il fatto che gli spazi coniugati siano costruiti come rivestimento a due fogli di una varietà significa semplicemente che esiste una corrispondenza punto a punto tra i due fogli F e F*, ma, ad esempio, le distanze tra coppie di punti omologhi (M1,M2), (M1, M2) possono essere diverse. L'unica restrizione è infine che gli intorni dei punti si corrispondano e che a ogni regione non singolare di una superficie corrisponda una regione anch'essa non singolare.

...Ritroviamo il fascio di spaghetti flessibili visto prima. La struttura di "varietà-scheletro" esiste solo per costruire l'applicazione iniettiva tra gli oggetti geometrici. Il disegno sopra è destinato a far emergere completamente domande come "come sono disposti i fogli F e F* l'uno rispetto all'altro? Se F è un universo, dove si trova F*?". Questi fogli sono semplicemente coniugati, con una corrispondenza punto a punto e questi punti coniugati possono essere descritti dalle stesse coordinate.

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