Curve coniugate e geometria locale

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Curvatura coniugata.

...Come afferrare l'idea di curvatura locale, positiva o negativa, in uno spazio a tre dimensioni. Prendiamo una sfera. Piantiamo un chiodo da qualche parte. Fissiamo un filo di lunghezza L e all'estremità opposta attacchiamo una matita. Potremo tracciare un cerchio, che sarà un parallelo. Ripetiamo la stessa operazione con un piano e una sella da cavallo.

...Su un piano il perimetro è 2πL e l'area del disco è πL².

...Sulla sfera il perimetro e l'area della calotta sono più piccoli. Su una sella da cavallo il perimetro e l'area delimitata da questa curva chiusa sono più grandi. Esempio: se prendiamo una sfera di raggio R e una lunghezza L uguale al quarto del perimetro equatoriale, cioè πR/2:

...L'area del disco è 3,875 volte maggiore dell'area della calotta sferica. Il suo perimetro è 1,57 volte maggiore dell'equatore.

...Effettuando misurazioni analoghe su una superficie possiamo stabilire se la curvatura locale è positiva o negativa. Situazione analoga in 3D. Prendiamo un punto, un filo di lunghezza L e tracciamo... una sfera. Se l'area di questa sfera è più piccola dell'area euclidea 4πL² concluderemo che la curvatura locale è positiva. Se questa area è più piccola dell'area euclidea 4πL² concluderemo che la curvatura locale è negativa. Stessa conclusione per il volume. Limitiamoci a queste idee qualitative. In tre e quattro dimensioni si può definire una lunghezza R, detta curvatura scalare, che si calcola a partire da un tensore di curvatura.

...Nel modello cosmologico che presentiamo, decidiamo di coniugare due fogli dell'universo tali che i valori delle curvature scalari locali in punti coniugati siano inversi:

R* = - R

...È il modo puramente geometrico di considerare le cose. È quindi agevole fornire un'immagine didattica 2D, con le dovute riserve sull'effettiva portata di tali rappresentazioni. È il disegno della figura seguente:

In alto, un "posicono" smussato. La curvatura locale è nulla sul tronco del cono e positiva nella calotta sferica.

In basso un "negacono" smussato. La curvatura è nulla sul tronco del negacono e negativa nella sella da cavallo.

...Abbiamo proiettato l'oggetto e le geodetiche su due piani-spazio di rappresentazione euclidea. Il primo è quello di un osservatore fisicamente situato nel foglio F, che potrà così vedere l'oggetto massivo, ma non la particella-testimone che si muove nel foglio F*.

...L'invisibilità di un oggetto situato in un foglio per un osservatore situato nell'altro è di natura puramente geometrica. Supponiamo che i fotoni seguano geodetiche (particolari) di ciascun foglio. I fotoni j si muovono nel foglio F (il nostro foglio dell'universo), e i fotoni j*, che potremo chiamare "fotoni fantasma" (ghost photons), si muovono nel foglio F*, il "foglio fantasma" (ghost universe). Il fatto che i due fogli formino un insieme disgiunto, non connesso, impedisce a ogni fotone di un foglio di passare all'altro.

...Il "funzionamento" di un tale sistema geometrico è meno complicato di quanto possa sembrare.

...Il foglio F ha la sua geometria, interamente descritta da una "metrica" g, a partire dalla quale costruiamo il suo sistema di geodetiche. A partire da questa metrica g possiamo costruire un tensore geometrico S e identificarlo a un tensore T, che sia "sorgente del campo", origine di questa curvatura, scrivendo l'equazione di Einstein:

S = c T

La geometria del secondo foglio, tale che la sua curvatura scalare sia inversa, corrisponde a una metrica g*, a partire dalla quale possiamo costruire un tensore geometrico S*. L'inversione di curvatura deriva semplicemente da:

S* = - S = - c T

...Il che non significa affatto che g* = - g. Le equazioni sono non lineari. La metrica g* genera anch'essa geodetiche.

...Consideriamo una geodetica del foglio F e rappresentiamo la curva corrispondente ai punti coniugati, nell'altro foglio. Non è una geodetica di quest'ultimo.

Al contrario:

...A questo punto, dove siamo? Abbiamo dotato l'universo (supposto essere il foglio F, il nostro proprio spazio-tempo) di un gemello. La materia presente nel nostro universo (il tensore T) determina la sua geometria, ma determina anche quella del gemello. Supponiamo che il nostro universo contenga esclusivamente masse positive e, più in generale, particelle con energia positiva. Non consideriamo la possibile presenza di masse negative nel nostro foglio spazio-temporale. Il tensore T è quindi positivo dove c'è energia-materia, oppure nullo dove regna un vuoto perfetto. La curvatura locale di F è quindi nulla o positiva, ma non può essere negativa.

...Al contrario, la curvatura del foglio F* (parleremo allora di curvatura indotta) è nulla o negativa.

...Se esistono particelle in questo foglio, supponiamo che seguano anch'esse geodetiche di questo foglio. Osservando la figura sopra, cosa notiamo? L'oggetto grigio, questa massa presente nel nostro universo, nel foglio F, si comporta come un oggetto repulsivo (vedi la curvatura della traiettoria-geodetica) nel foglio F*.

...Abbiamo costruito una soluzione matematica esatta corrispondente a questa coppia di "metriche coniugate" (g, g*). [Vedere sul sito: articolo Geometrical Physics B]. La soluzione g è identica a ciò che abbiamo chiamato le metriche di Schwarzschild esterna (al di fuori dell'astro) e interna (all'interno dell'astro stesso). Proponiamo di chiamare la seconda metrica "Anti-Schwarzschild". [Vedere sul sito: Geometrical Physics A, 7, articolo 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions.]

Con materia fantasma.

In questa ottica di geometrie coniugate, possiamo invertire la situazione e supporre che una massa (positiva) si trovi in qualche punto nel foglio F*. Essa vi crea allora una curvatura positiva e l'immagine didattica 2D di questa geometria corrisponde al cono smussato, a una soluzione di Schwarzschild, ma nel foglio F*.

...Stessa osservazione per il modo in cui gli osservatori di diversi fogli percepiscono l'effetto di questa massa su una particella-testimone che si muove nel loro universo.

...L'esame dello schema sopra ci permette di individuare le leggi di interazione tra materia e materia fantasma (ghost-matter), localizzata nel secondo universo, il ghost universe.

• Due particelle di materia si attraggono

• Due particelle di materia fantasma si attraggono.

• Materia e materia fantasma si respingono.

...Si vede che è diverso dallo schema suggerito da Souriau, secondo cui le particelle della seconda specie, oltre a respingere quelle che costituiscono la nostra materia, si respingevano anche tra loro.

...La seconda geometria corrisponde alla presenza di masse positive m*, nel foglio F*. Potremo definirvi una densità di materia ρ* > 0 (o più precisamente di energia-materia fantasma, poiché il secondo foglio, l'ghost universe, contiene anche "radiazione fantasma", fotoni fantasma e neutrini fantasma). L'energia delle particelle fantasma è positiva, così come la pressione p*.

...A partire da queste grandezze possiamo costruire un tensore di energia-materia fantasma T* (il tensore energia-materia più generale è un po' più complesso, ma questa descrizione schematica è sufficiente "per i bisogni abituali").

L'equazione di campo che dà la geometria in...