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Nozione di geodetica.
...In tutto ciò che seguirà tratteremo
solo superfici a due dimensioni. Sarebbe preferibile
che il lettore si munisse di un po' di materiale prima di iniziare questa
lettura. Ci sono infatti cose che "si capiscono con le mani", eseguendo
esperimenti. Occorre dunque:
-
Fogli di cartoncino Bristol, o di carta un po' spessa.
-
Nastro adesivo, possibilmente colorato.
-
Forbici.
...In commercio si trovano nastri in
"nastro telato" particolarmente comodi, che hanno il vantaggio
di poter essere srotolati in strisce di larghezza qualsiasi.
...Prendete una superficie, per esempio la carrozzeria
della vostra auto. Potete incollare una striscia su di essa, facendo in modo
che questa non si pieghi, che aderisca sempre completamente
al suo supporto. Così facendo traccerete delle geodetiche
della "superficie-auto".
...Se fate questa operazione su
una superficie piana, otterrete.. delle rette. Le rette sono le geodetiche
del piano.
...Con tre geodetiche potrete
tracciare un triangolo su questo piano, "superficie euclidea", la somma degli
angoli di questo piano valendo 180°.
I posiconi.
Costruiamo ora un "posicono". Per fare ciò, effettuate un taglio
di un angolo q e reincollate la superficie come indicato.
...Tracciamo due triangoli geodetici,
con il nastro adesivo, l'uno essendo esterno al vertice
S di questo posicono e l'altro contenente questo vertice S. Misuriamo la somma
degli angoli del triangolo. Si constata allora che la somma degli angoli del triangolo
che non contiene il vertice resta uguale a 180° mentre
quella dell'altro triangolo vale 180°+q .
Per verificarlo basterebbe riaprire questo "posicono" e
metterlo in piano. Allora si otterrebbe questo:
...Si può allora verificare facilmente
che le rette AH e H'B formano un angolo q. Come si potrebbe constatare
"sperimentalmente", le geodetiche del cono, dopo
la messa in piano, diventano rette del piano, il che significa semplicemente
che il cono è una superficie sviluppabile. Stessa cosa per
un cilindro.
...Una superficie sviluppabile
è anche una superficie che si può far rotolare su un piano (a parte alcune
precauzioni, per le superfici sviluppabili a curvatura
negativa, come si vedrà più avanti).
...Se si traccia una geodetica
su un cono o un cilindro, con dell'inchiostro grasso, si può usare
questa "matrice" per "stamparla" su un piano, nel qual caso si ottiene una
retta. E, inversamente, se si iscrive una retta con inchiostro grasso
su un piano e la si "stampa" su un cono o un cilindro, facendo
rotolare questi oggetti sul piano, la stampa dà delle... geodetiche.
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