La curvatura (positiva).
...Quando avevamo tracciato il nostro triangolo, costituito da linee geodetiche, su un piano, la somma dei suoi angoli al vertice valeva p.
Un piano... è una superficie piana, "non curva", euclidea. La somma degli angoli di questo triangolo è dunque la somma euclidea. Nell'esperienza precedente abbiamo visto che se un triangolo non conteneva il vertice del nostro cono, la somma restava euclidea. Invece quando il triangolo contiene il vertice S, allora questa somma presenta un eccesso q, qualunque sia il triangolo, dal momento che contiene questo punto. Diremo che il vertice del cono è un punto di curvatura concentrata.
...Possiamo ora passare ad altri esperimenti. Dopo aver fabbricato due coni, con tagli q1 e q2, possiamo incollare questi due elementi di superficie l'uno all'altro.
...Un modo più semplice di procedere consiste nell'operare due tagli in un foglio di cartoncino e nel fabbricare la superficie seguente:
Potrete allora tracciare su questa superficie quanti triangoli geodetici vorrete:
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Che non racchiudono né S1 né S2: Somma degli angoli: p
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Che racchiudono solo S1: Somma degli angoli p + q1
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Che racchiudono solo S2: Somma degli angoli: p + q2
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Che racchiudono entrambi i punti S1 e S2: Somma degli angoli: p + q1+ q2
...Si immagina facilmente che si possano fabbricare un gran numero di mini posiconi di angolo Dq debole e che si possano incollare l'una sull'altra. Si potrebbe persino fare in modo che vi sia una densità di curvatura costante per unità di superficie, assimilando questa curvatura alla somma dei Dq associati a ogni vertice di queste mini posiconi.
...Rendendo queste mini posiconi sempre più piccole (così come l'angolo elementare Dq che vi è associato) si può servirsi di ciò per costruire una porzione di superficie a densità di curvatura costante.
La sfera è una superficie a densità di curvatura costante. Si dirà più semplicemente a curvatura locale costante.
Un uovo è una superficie curva, a densità di curvatura variabile. Si dirà più semplicemente a curvatura locale variabile.
...La Relatività Generale consiste nell'identificare massa volumica r e curvatura locale. Naturalmente, la Relatività Generale tratta non di superfici a due dimensioni, né addirittura a tre, ma di ipersuperfici a quattro dimensioni. Non bisogna dunque chiedere troppo a quanto precede e dovremo considerare queste figure solo come immagini didattiche, destinate a fissare le idee. Ma non sono poi così cattive.
Immagine didattica 2d di un astro.
Un astro, come il sole, è una concentrazione di materia, circondata, se non dal vuoto, almeno da un quasi-vuoto (dunque da una regione a curvatura molto debole). In due dimensioni l'immagine didattica sarà quella di un cono smussato.
...Un cono smussato è fabbricato con l'aiuto di due elementi: una calotta sferica, a curvatura costante (o a "densità di curvatura costante") e un tronco di cono. Questo tronco di cono è "piatto", la sua densità di curvatura è nulla. È una superficie euclidea. È l'immagine didattica 2d di un astro di massa volumica r costante.
...Ci si potrebbe peraltro chiedere come raccordare perfettamente un tronco di cono e una calotta sferica, in modo che il piano tangente sia continuo.
...È semplice. Il tronco di cono è fabbricato a partire da un cono, il quale implica un taglio di un angolo q. La calotta sferica contiene una certa "quantità di curvatura", che è anch'essa un angolo. È la somma di tutti gli angoli delle mini posiconi che la costituiscono. Bisogna che questi due angoli siano uguali.
Ma come valutare la quantità di curvatura contenuta in una data calotta sferica? .
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