Curvatura totale.
...Possiamo fabbricare una sfera affiancando delle mini posicone. Ma durante questa operazione, questa superficie a curvatura (o densità di curvatura o curvatura locale) costante, si richiuderà. Essa contiene quindi una certa curvatura, ma quale?
...Se traccio un triangolo geodetico su una sfera, esso racchiuderà un certo numero di mini posicone, una certa "quantità di curvatura", che è un angolo. Questa sarà semplicemente proporzionale alla superficie del triangolo, o più precisamente al rapporto tra la superficie s del triangolo e la superficie S della sfera.
...Ma abbiamo visto, più sopra, che quando tracciavamo un triangolo geodetico su una superficie fabbricata a partire da posicone uniti, lo scarto dalla somma euclidea era uguale alla somma delle curvature concentrate legate a ogni vertice di cono contenuto nel nostro triangolo. Basta quindi misurare la somma degli angoli a, b, g del triangolo qui sopra, fabbricato a partire da tre archi geodetici di sfera per ottenere una misura della quantità di curvatura angolare contenuta in questo triangolo. Le geodetiche della sfera sono i suoi "grandi cerchi".
...Tagliamo la nostra sfera in otto porzioni uguali. Otterremo otto triangoli costituiti da archi geodetici, i cui tre angoli saranno retti.
...Ciascuno di questi triangoli contiene quindi una curvatura uguale a p/2. Poiché ce ne sono otto, la curvatura totale della sfera vale quindi 4 p.
...Questa piccola osservazione per mostrare che si possono costruire risultati geometrici con ragionamenti estremamente semplici.
...Tornando al tema del cono smussato, si vede che il fianco dell'oggetto dipende dalla quantità di curvatura "contenuta all'interno", questa curvatura potendo essere puntuale (punto conico) o distribuita su una calotta sferica. Si può far tendere la calotta verso un punto, riducendola in modo omotetico (in modo tale che contenga sempre la stessa "quantità di curvatura").
Traiettorie.
...In Relatività Generale l'idea chiave è semplice: assimilare le traiettorie degli oggetti, delle particelle, dei fotoni o della materia a delle geodetiche. Naturalmente, sono geodetiche di un'ipersuperficie a quattro dimensioni. Quindi anche qui abbiamo solo delle immagini didattiche.
Se prendiamo il nostro cono smussato possiamo tracciare sopra delle geodetiche, e proiettarle su un piano.
...Tutte le particelle seguono delle geodetiche dell'ipersuperficie: le particelle di materia, ma anche i fotoni e i neutrini. È per questo che ci siamo divertiti a figurare una geodetica che attraversa l'oggetto completamente. Un neutrino può attraversare il sole senza problemi.
...Ma cos'è questo piano sul quale si proiettano queste geodetiche? È il modo in cui rappresentiamo lo spazio. Il nostro "universo mentale" è completamente euclideo e il nostro pensiero "piatto". Quando vediamo una cometa sfiorare il sole, non ci verrebbe mai in mente che in realtà essa va "dritta", vale a dire che segue una geodetica dell'ipersuperficie. La nostra percezione del mondo è la figura 24', dove un astro "attira" gli oggetti che passano nelle sue vicinanze.
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