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Invarianza per cambiamento di coordinate.

...Ecco un concetto-chiave della Relatività Generale, che non è facile da presentare. Abbiamo detto che cercare una "soluzione cosmologica", stazionaria o instazionaria, equivale a costruire un'ipersuperficie a quattro dimensioni che sia "soluzione dell'equazione di campo".

...Prendiamo per esempio un oggetto in lamiera che abbia la topologia della sfera. È "una sfera in lamiera". Anche qui si immagina bene che si possa deformare questa superficie riscaldando e raffreddando in alcuni punti. Per esempio riscaldando in un punto e raffreddando la regione antipodale si trasformerebbe questa sfera in un uovo. Un uovo è un oggetto che ha la topologia della sfera, ma che è una superficie a curvatura variabile.

...Riscaldando in un punto e raffreddando in un altro, si creeranno delle tensioni nel metallo. Naturalmente, poiché questo materiale è conduttore, se si smettesse di riscaldare e raffreddare, la temperatura si omogeneizzerebbe e l'oggetto riprenderebbe la sua forma sferica. Ciò che conta è che si riesca a creare una situazione stazionaria con un campo di temperatura non uniforme. Questo campo genera delle tensioni e si potrebbero concretizzare queste tensioni sotto forma di un oggetto matematico T chiamato tensore.

Qualcosa descrive la geometria dell'oggetto. Si chiama una metrica. È a partire da questo secondo oggetto matematico che si può:

• Calcolare il tensore geometrico S

• Calcolare le geodetiche della superficie.

La geometria di questa superficie potrebbe calcolarsi a partire da un'equazione analoga all'equazione di Einstein, del tipo:

S = a T

dove a è una costante. Conoscendo a priori il campo di temperatura nella lamiera, quindi il tensore delle tensioni, si potrebbe dedurne la geometria. Il modo migliore per "leggere" questa geometria sarebbe allora analizzare il sistema delle geodetiche. Conosciamo quelle della sfera (i suoi "grandi cerchi"). Le geodetiche di un uovo sono differenti.

...Per descrivere queste geodetiche avremo bisogno di definire un sistema di coordinate sulla superficie. Per la sfera, si potrà prendere il classico sistema azimutale.

...In questo sistema di coordinate particolari, le geodetiche della sfera corrisponderebbero a certe equazioni.

Su questa sfera le curve q = Cte rappresentano la famiglia di geodetiche passanti per due punti. Invece le curve j = Cte (paralleli) non sono geodetiche della superficie.

...Si potrebbe anche definire un sistema di coordinate analogo e scrivere le equazioni delle geodetiche della superficie "uovo". Ma si nota subito una cosa essenziale: le geodetiche della superficie sono indipendenti dalle coordinate che si scelgono per descriverle, così come i punti di una sfera, o di un uovo, esistono, indipendentemente dal sistema di coordinate utilizzato per localizzarli.

...Allo stesso modo, su un piano, si possono rappresentare dei punti in coordinate cartesiane o in coordinate polari. Le rette del piano sono delle geodetiche.

Una retta può essere descritta in due sistemi di coordinate:

...Si tratta della stessa geodetica, con due descrizioni totalmente differenti. Le rette del piano esistono indipendentemente dal modo in cui le si descrive, dalla scelta delle coordinate utilizzate. E se ne possono immaginare... un'infinità.

...Allora, che cosa è intrinseco? Risposta: la lunghezza s misurata su una retta (o lungo un contorno curvilineo qualsiasi). Tra due punti M1 e M2 di una superficie il percorso di lunghezza minimale è una geodetica.

...Allo stesso modo la distanza che separa due punti, su una geodetica degli oggetti "sfera" o "uovo" è ugualmente una grandezza che è indipendente dal sistema di coordinate scelte. Se si prendono due punti M1 e M2 su una superficie e si traccia l'arco geodetico che li congiunge, la lunghezza s misurata lungo questo arco sarà la stessa, qualunque sia il sistema di coordinate utilizzato per localizzare i punti.

...Lo stesso vale per l'ipersuperficie a quattro dimensioni che chiamiamo "universo". Essa possiede il suo sistema di geodetiche, ugualmente invarianti per cambiamento di coordinate. Non abitiamo in uno spazio (x, y, z, t) con delle coordinate di posizione e una coordinata di tempo, ma in un'ipersuperficie quadridimensionale che può essere interamente descritta dalla sua rete di geodetiche. Su queste geodetiche esiste una lunghezza s che è ugualmente invariante per cambiamento di coordinate. I punti di questa ipersuperficie non sono più punti dello spazio, ma punti di un'ipersuperficie spazio-tempo. Li si chiama eventi. Due eventi distinti sono quindi separati da qualcosa che si chiama s. Ma che cos'è dunque?

È il tempo proprio.

...Una traiettoria geodetica in questa ipersuperficie spazio-tempo separa due eventi M1 e M2. Tutto ciò che posso dire è che se avessi utilizzato un veicolo per effettuare questo tragitto nello spazio tempo, sarebbe trascorso un lasso di tempo s, sul mio orologio di bordo.

Una scelta di coordinate consiste nel localizzare i punti dello spazio tempo mediante coordinate di spazio (x, y, z) e una coordinata di tempo t. Ma poiché questa scelta è arbitraria questo spazio e questo tempo non hanno esistenza intrinseca. Non sono che modi di "leggere" la superficie, di percorrerla. Unico vincolo: in funzione dell'ipotesi fatta, ci si può spostare solo secondo delle geodetiche e su queste ultime, la sola cosa affidabile a cui ci si può aggrappare è il "tempo proprio trascorso" s, e non questo tempo t, semplice sistema di riferimento cronologico (chronological marker).

Per ogni scelta del sistema di coordinate, un sistema differente di lettura degli eventi, dei fenomeni.

...I fisici hanno quindi cercato un formalismo che sia indipendente dalla scelta delle coordinate. È l'essenza del formalismo tensoriale. Non si può dire di più su questo argomento, a pena di entrare in dettagli tecnici relativamente complessi.

Il problema delle singolarità.

Su una sfera, la scelta di coordinate angolari classica introduce due singolarità polari.

Impossibile cartografare una sfera senza introdurre questo genere di singolarità polari.

...Da notare che si può cartografare una sfera con una singolarità unica. Si crea sulla sfera una prima famiglia di curve (dei cerchi) tagliandola con dei piani, come indicato qui di seguito:

Poi una seconda famiglia:

Al di fuori di questa unica singolarità, nessun problema. Se si guardasse questa sfera dall'altro lato, si vedrebbe questo:

...Al di fuori dell'unica singolarità S, si localizzano i punti senza difficoltà. Ma i valori dei parametri a e b che definiscono questa singolarità di maglia S sono .... qualsiasi cosa...

...Eppure una sfera non è geometricamente, intrinsecamente singolare. Girate una biglia da biliardo in tutti i sensi, o un uovo, non vi scoprirete alcun punto singolare.

Queste singolarità sono quindi state create dalla scelta delle coordinate.

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