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Esisteranno, invece,
vere e proprie singolarità geometriche:
Ecc....
..A
proposito, la piega è una regione particolare della superficie che
contiene curvatura lineare, negativa a sinistra,
positiva a destra. Appositamente, queste due superfici sono state costruite
con calotte sferiche. L'oggetto finale ha la topologia della sfera.
Possiede quindi una curvatura totale uguale a 4p
. Supponiamo che l'oggetto a sinistra sia stato costruito con
due volte tre quarti di sfera (partendo da sfere dello stesso
raggio). Questi componenti corrispondono quindi ciascuno a una curvatura di
3p. Totale 6p. Si sa quindi immediatamente
quanta curvatura (negativa) contiene la piega: - 2p
. Questa è distribuita uniformemente lungo la piega circolare.
Si può quindi calcolare la somma degli angoli del triangolo ABC. Misurando la sua
superficie si conosce innanzitutto la quantità di curvatura (angolare)
che contiene. Essa è:
Bisogna sottrarre la
quantità di curvatura contenuta nell'arco mn. Essa è:
La lente ha anch'essa la
topologia della sfera. Quindi la piega contiene una curvatura lineare
positiva uguale a 2p.
...Si
può anche calcolare la somma degli angoli del bizzarro triangolo ABC,
costituito da tre linee geodetiche. Le geodetiche attraversano allegramente le pieghe. Non dovete
far altro che fare l'esperienza
con il vostro nastro adesivo.
L'arco mn contiene la
curvatura lineare: Supponiamo
che la specie di lente indicata sopra sia stata
costruita con due quarti di sfere, identiche. Ciascuno contiene
una curvatura uguale a p. Quindi, la
superficie (senza la piega) contiene la curvatura 2p
.
...Contando
la curvatura angolare contenuta nel triangolo ABC e nell'arco-piega, si può conoscere lo scarto, positivo, rispetto alla
somma euclidea p.
Si vede che si può abbastanza
facilmente destreggiarsi con questi problemi di curvatura, per le superfici.
...Una
superficie può presentare punti singolari o pieghe. In questo caso si tratta
di singolarità realmente geometriche, intrinseche,
e non risultanti da una scelta di coordinate.
...A
proposito, notiamo che questa curvatura lineare potrebbe essere distribuita
su una porzione di superficie. Per esempio, per la figura a sinistra, si otterrebbe
:
...È
il procedimento analogo a quello presentato
più sopra, dove la curvatura concentrata al vertice di un cono
era stata distribuita su una calotta sferica
(cono smussato). Se
le due calotte sferiche che compongono la superficie qui sopra rappresentano,
per esempio, ciascuna due terzi di sfera, ovvero una curvatura
La superficie grigia
conterrà una curvatura negativa C, distribuita uniformemente, tale che:
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