Spazio di rappresentazione.
...Si era visto che un cilindro era una superficie sviluppabile. Prendete ora un foglio di carta. È una superficie piana, euclidea. Le sue geodetiche sono rette. Tracciate alcune rette su questo foglio, poi accartocciatelo.
...Se poteste irrigidire questa superficie piana accartocciata, vi accorgereste che questa operazione non ha affatto modificato la distribuzione delle sue geodetiche, che potreste tracciare di nuovo con il vostro nastro adesivo. Avete semplicemente giocato con il modo di rappresentazione di questo piano nel suo spazio di immersione tridimensionale.
Un modo meno complicato di procedere consiste nel trasformare una lamiera in... lamiera ondulata:
Geodetiche: invariate.
...Gli oggetti geometrici esistono indipendentemente dal modo in cui ce li rappresentiamo, indipendentemente dal loro spazio di rappresentazione.
...Siamo supposti abitare in una "ipersuperficie quadridimensionale": lo spazio-tempo. La Relatività Generale consiste nel cercare di costruire la sua geometria, come soluzione di un'equazione di campo, e poi nel "leggere" questa geometria, analizzando le geodetiche dell'ipersuperficie. È evidente che allora non si parla più di spazio di rappresentazione. Per farlo bisognerebbe disporre di una visione in cinque dimensioni, che non possediamo.
...In pratica, utilizziamo coordinate che sono quelle dello spazio euclideo, di proiezione. Immaginiamo di cercare una soluzione geometrica atta a descrivere lo spazio-tempo in prossimità di un corpo massiccio e al suo interno. Supporremo che il sistema possieda la simmetria sferica. Inoltre supporremo che questo sistema sia stazionario (o quasi-stazionario).
...Utilizzeremo allora le coordinate sferiche (r, q, j). In due dimensioni, ne avremo solo due e la nostra simmetria sarà circolare. Utilizzeremo allora il sistema delle coordinate polari del piano:
...Questo modello del corpo smussato è un'immagine didattica 2d di una soluzione stazionaria che esiste effettivamente in Relatività Generale e che è stata inventata dall'austriaco Schwarzschild, nel 1917, come soluzione particolare della "equazione di Einstein":
S = c T
già presentata più sopra. Questa soluzione è intelligente e sottile. Sul piano del calcolo, non è semplice da costruire. Questa precisazione per tentare di dissipare un mito: quello di un Einstein, genio isolato nel mondo del suo tempo, popolato di ignoranti.
...A partire da questa soluzione si mostra allora che esistono, attorno a una massa possedente la simmetria sferica, delle geodetiche piane, situate in dei piani, e si sa calcolare la loro forma: r = f (q). Queste traiettorie (o almeno la loro proiezione nel nostro spazio mentale di rappresentazione, euclideo) sono "quasi Kepleriane" e le leggi di Keplero appaiono allora come un'approssimazione, quando la massa che crea questa geometria (nella visione newtoniana, questa "forza") resta moderata, vale a dire che la curvatura locale, in questa massa, resta debole.
...Questa soluzione è uno dei perni della Relatività Generale e, benché ciò non possa essere evocato da semplici immagini didattiche come quelle che offriamo al lettore, è essa che permette di prevedere e di calcolare per esempio l'avanzamento del perielio di Mercurio. Einstein si servì di questa soluzione per spiegare questo effetto, già noto, e raccolse allo stesso tempo tutti gli allori di quella che da allora fu chiamata "la teoria di Einstein". Perché Schwarzschild non sfruttò egli stesso la sua scoperta? Perché tenne assolutamente ad arruolarsi e a partire per le trincee, dove fu gasato e morì poco dopo.
...Del resto non si è molto sicuri che questa celebre equazione di Einstein sia proprio sua. Apparentemente gli sarebbe stata suggerita dal grande matematico Hilbert. Einstein non accolse neppure con entusiasmo la successiva scoperta del russo Friedmann, che scoprì, lui, la soluzione instazionaria dell'equazione di campo che permette di descrivere l'evoluzione dell'universo. Stessa cosa, nel 1921, per i lavori del giovane matematico Kaluza, i cui lavori, riscoperti, costituiscono ora il punto di partenza della teoria delle supercorde. Queste cose sono scientificamente di poco interesse e non diminuiscono affatto il valore di Einstein, ma mostrano che lo spirito sportivo non va necessariamente con il valore scientifico di un individuo.
Nella soluzione sviluppata da Schwarzschild, tecnicamente, lo spazio è in due parti. All'interno dell'astro la densità di materia r è supposta costante. Il tensore energia-materia T, che ne dipende, è ugualmente non nullo. All'esterno r e T sono nulli.
...Questa geometria composita è dunque soluzione di due differenti equazioni, con o senza secondo membro. La densità di materia presenta una discontinuità alla superficie dell'astro (è ugualmente il caso per la coppia soluzione di Schwarzschild "interna" e soluzione di Schwarzschild "esterna". In questo caso l'astro è una sfera di densità costante e questa cade brutalmente a zero alla superficie dell'astro). Ma la continuità delle geodetiche può nondimeno essere assicurata, attraverso delle condizioni matematiche di cui l'immagine è stata data più sopra (raccordo tronco di cono-calotta sferica).
...Quando la massa diventa importante e gli effetti di curvatura pronunciati, le traiettorie si scostano allora più nettamente dal modello kepleriano, per esempio in prossimità di una stella a neutroni. Qui di seguito l'avanzamento del perielio attorno a un tale astro (attorno al sole l'ellisse traiettoria di Mercurio avanza di 0,15 gradi per secolo).
...La formula e il programma che permettono di calcolare queste traiettorie non hanno d'altronde nulla di complicato. Li daremo un giorno su questo sito, per i curiosi.
...In questo momento poniamo alcuni paletti geometrici in vista di discussioni ulteriori, ricordando tuttavia che i modelli indicati hanno solo un carattere indicativo.
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