f111

Eventuali problemi posti da una scelta di coordinate.

...Stiamo per evocare i rischi corsi nel sovrapporre un sistema di coordinate a una soluzione geometrica, esprimendo questa soluzione in quel particolare sistema di coordinate: purché poi esso sia adeguato. Quando guardiamo la soluzione qui sopra, supponendo che questa geometria sia soluzione di un'equazione di campo, il ricorso a un sistema di coordinate (r , q) presupponeva che la topologia fosse "localmente sferica", in due dimensioni, naturalmente. Vale a dire che all'interno di ogni cerchio "centrato su questo ipotetico centro geometrico si poteva sempre inscrivere un cerchio più piccolo, fino a che questo cerchio diventasse un punto. Matematicamente si direbbe che ogni cerchio di raggio r delimita una "cellula contraibile".

...In 3d, localmente, l'universo sarebbe "a matrioska". All'interno di una sfera si potrebbe sempre inscrivere una sfera di area minore. In 3d, si tratta di una topologia localmente sferica.

Può essere altrimenti?

Sì, se la topologia della superficie è "localmente torica". In 2d questo dà quanto segue:

...Osservazione: l'oggetto della figura qui sopra è una superficie 2d nel senso che servono due parametri per individuarvi la posizione di un punto. In questo senso una curva è una "superficie a una dimensione". Quando parlerà del cerchio, il geometra impiegherà l'espressione "sfera S1", cioè "sfera a una sola dimensione": serve un unico parametro, l'ascissa, per individuare un punto su una curva, oggetto unidimensionale. La sfera S2, la sfera "ordinaria", e il cerchio, la sfera S1, hanno qualcosa in comune: sono oggetti "chiusi" (concetto allora mutuato dalla topologia).

...Questo numero di quantità che serve a definire la posizione di un punto in uno spazio è precisamente la definizione della dimensione di quello spazio. Così si considererà lo spazio-tempo (x,y,z,t) come un'ipersuperficie a quattro dimensioni, perché servono quattro quantità per definirvi un punto, detto "evento".

Fine di questa osservazione sul concetto di dimensione.

...Bisogna tenere bene a mente una cosa. Il geometra che costruisce una soluzione particolare di un'equazione di campo è cieco, non può vedere l'oggetto geometrico che ottiene. Può solo esplorarlo, attraverso le sue geodetiche, descrivendo queste ultime in un particolare sistema di coordinate. Le coordinate polari di poco fa corrispondevano all'intersezione della superficie con una famiglia di cilindri coassiali:

e con una famiglia di piani passanti per l'asse comune di quelli.

In 3d si tratterebbe dell'intersezione dello spazio con una famiglia di sfere concentriche.

...Ma che cosa succede se si taglia la superficie presentante questa sorta di ponte tubolare con una famiglia di cilindri concentrici? Finché i cilindri intersecano la superficie, va bene. Ma quando il loro perimetro diventa inferiore a quello del "cerchio di gola" queste sezioni diventano ... curve immaginarie. Sia p il perimetro del cerchio di gola. Associamolo a una lunghezza Rg tale che p = 2 p Rg .

...È chiaro che ogni cilindro della famiglia tale che r < Rg non interseca la superficie. Quando il geometra si interesserà all'andamento delle geodetiche della superficie per r < Rg troverà oggetti geometrici immaginari.

...Quando si cerca l'intersezione di due punti con una retta, corrispondente per esempio a x = xo si trovano due valori reali, per y, quando la retta interseca effettivamente il cerchio. Altrimenti questi valori sono puramente immaginari.

...Se un uomo, che esplora una superficie nell'oscurità, senza poterne percepire la forma, che ignora che la topologia di questa è localmente torica, potrà essere estremamente disorientato.
La superficie può essere individuata per mezzo di due famiglie di curve:

...Ogni curva è definita da un parametro. Un punto M, all'intersezione di queste due curve, è ben definito da due quantità (a,b), i due valori delle curve passanti per M.

...La prima è costituita da cerchi che non sono geodetiche della superficie (salvo il cerchio di gola), la seconda da geodetiche, dall'andamento iperbolico, ortogonali a questi cerchi. Le curve iperboliche evocano traiettorie plungenti, che permettono di passare da una falda a un'altra falda.
Si può evidentemente avere la stessa situazione per uno spazio 3d, localmente ipertorico. I cerchi saranno sostituiti da una famiglia di sfere, tra le quali si troverà una sfera di gola, di area minima. Le linee costituenti le traiettorie ortogonali a questa famiglia di sfere costituiscono traiettorie plungenti che permettono di passare per questo tunnel ipertorico e di riapparire in un'altra falda (o foglio) 3d.

...Questa osservazione non è gratuita. Avremo l'occasione di tornarvi quando metteremo sotto esame il modello del buco nero. Infatti, in questo modello, quando si penetra "all'interno della sfera orizzonte" la massa di una particella diventa... puramente immaginaria (questo e ben altre cose ancora). Si è allora in diritto di chiedersi se si è ancora nell'ipersuperficie spazio-tempo. La scelta particolare di coordinate

(t , r , q
, j)

che implica una topologia localmente ipersferica (esistenza di una coordinata radiale r, capace di prendere valori inferiori al raggio della sfera orizzonte, della sfera di Schwarzschild) sarebbe pertinente?

Un astrofisico noto scriveva, qualche anno fa:

• Ora sappiamo molto di più sull'interno dei buchi neri.

Ma i buchi neri, se esistono, hanno un interno, o corrispondono a una topologia localmente ipertorica?

...Si vede tutto ciò che può indurre una scelta di sistema di coordinate. La soluzione geometrica esiste. Possiede delle geodetiche. Ma sappiamo "leggere" tutto questo solo proiettandolo nel nostro spazio mentale di rappresentazione: uno spazio tempo euclideo, che non è nemmeno relativistico. Scegliere un sistema di coordinate, è scegliere un sistema di lettura, un sistema di proiezione.
...Come i personaggi di Platone, non possiamo che osservare ombre su uno "schermo euclideo". Purché poi si scelga il buon obiettivo del "sistema di proiezione".

...

Sommario articolo Sommario Scienza Pagina iniziale

Pagina precedente Pagina successiva

Ritorno verso Guida-Scienze Numero di consultazioni di questa pagina dal 1° luglio 2004: