Il contesto geometrico.
...Una sfera è uno spazio a due dimensioni. Occorrono due parametri per individuarvi un punto. È uno spazio che ha una topologia (per maggiori dettagli sul significato della parola topologia, vedere il mio fumetto il Topologicon, Ed. Belin). Una sfera non ha la stessa topologia, la stessa "forma" di un toro. La sfera possiede delle geodetiche. Vi si può inscrivere un percorso che collega due punti M1 e M2 e misurarne la lunghezza s percorsa. Questa lunghezza è indipendente dalle coordinate scelte per individuare i punti, così come le curve geodetiche che popolano la superficie.
...Uniamo il centro di questa sfera a tutti i suoi punti. Otteniamo un'infinità di semirette. Queste possono essere individuate con lo stesso sistema di riferimento dei punti, per esempio due angoli q e j.
Qui sopra la nostra sfera.
Si è fatto un buco per mostrare l'insieme dei raggi vettori.
Togliamo ora la sfera e conserviamo soltanto i raggi vettori.
...Si sono troncate queste semirette, ma in realtà esse sono infinite. Ciascuna è definita solo dalla dato di due parametri, per esempio due angoli. La struttura metrica è scomparsa. Niente più geodetiche, niente più lunghezze. Che cosa resta?
- Ogni semiretta ha un intorno. Si possono selezionare semirette vicine per racchiuderla in una sorta di cono. All'interno di questo cono se ne può far figurare uno più stretto, che contiene la semiretta. È una questione di cerchi concentrici o di matrioske, ma con fasci di semirette. Tuttavia non si tratta di tracciare geodetiche su quei coni. Ciascuna delle loro generatrici è semplicemente un insieme di due parametri, per esempio due angoli.
- Si distingue un'idea intuitiva di differenziabilità. Non c'è discontinuità in questa "trama".
Prendiamo una superficie piana, con geodetiche, lunghezza ecc...
...Qualunque sistema di coordinate scelga dovrò sempre individuare la posizione dei miei punti con due numeri reali (x,y), (r,q) ecc...
Questi numeri reali sono presi in R2, cioè nell'insieme delle coppie di numeri reali, come (3,8705 , - 17,56). Ogni coppia di punti presa in questo spazio delle coppie di numeri reali ha un intorno. È "continuo".
Questi oggetti "pre-metrici" sono chiamati varietà (i matematici hanno il dono di scegliere parole che non hanno alcun potere evocativo per l'uomo della strada).
...A questo stadio si può dunque saltare questo passo che consiste nel considerare un insieme di n reali (spazio a n dimensioni), senza associarvi automaticamente l'idea di lunghezza o di geodetiche.
...È un po' come se si considerasse una superficie i cui punti avessero come unico vincolo quello di mantenere il contatto con i loro vicini. Sarebbe infinitamente elastica e deformabile. Per convenzione, se rappresentiamo una superficie mediante il suo contorno (sia il suo bordo, sia il suo contorno apparente, si evoca questo concetto "mobile" di varietà togliendo semplicemente il contorno:
...Questa immagine evoca d'altronde l'ombra dell'oggetto. E un'ombra non ha né consistenza né forma. La sua geometria dipende dall'oggetto sul quale si proietta.
Ci si può anche rappresentare la varietà (in inglese manifold), senza la sua metrica, come una famiglia di rette.
...Qui si sono messe delle rette che sembrano parallele. Bisognerebbe che queste rette fossero... in qualsiasi modo, pur conservando le loro relazioni di prossimità, di vicinanza.
...Infine, una buona immagine di una varietà V2 è un pacchetto di spaghetti che prima si fanno cuocere, poi si possono piegare e torcere in ogni senso, ma senza modificare l'ordine delle paste le une rispetto alle altre.
Sta di fatto che si può effettuare su una varietà un'operazione di rivestimento a due fogli, che si munisce di metriche, suggerita dall'immagine qui sotto:
Qui due fogli bidimensionali dotati di metriche identiche (euclidee). Ma si può altrettanto bene fare:
...Si chiameranno M e M* dei punti coniugati. Il fatto di dire che i due spazi coniugati sono costruiti come il rivestimento a due fogli di una varietà significa semplicemente che esiste una corrispondenza punto a punto tra i due fogli F e F*, ma, per esempio, le distanze tra coppie di punti omologhi (M1,M2) , (M*1, M*2) possono essere differenti. L'unico vincolo è infine che gli intorni di punti si corrispondano anch'essi e che a ogni regione non singolare di un foglio corrisponda una regione anch'essa non singolare.
...Si ritrova il pacchetto di noodles flessibili di poco fa. La struttura di "varietà-scheletro" è lì solo per costruire l'applicazione iniettiva tra i due oggetti geometrici. Il disegno qui sopra è destinato a far completamente esplodere domande come "come sono disposti i fogli F e F* l'uno rispetto all'altro? Se F è un universo, dov'è F*?". Questi fogli sono semplicemente coniugati, con una corrispondenza punto per punto e questi punti coniugati possono essere descritti dalle stesse coordinate.
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