幾何学的遊戯
尖点を有する点の多面体的表現、その集中曲率の計算。
さまざまな曲面の多面体的表現。
クロスキャップの尖点の入れ替え。
ステイナーのローマン面を経由して、右ねじれのボー曲面から左ねじれのボー曲面への変換。
ボー曲面の右・左の反転。
ジャン＝ピエール・ペティ
CNRS 研究所長
1988–1999
要旨：
集中曲率を持つ点を表現するためのいくつかの要素を提示する。すなわち「ポジコーン」、「ネガコーン」、およびそれらの多面体的対応物である「ポジコイン」、「ネガコイン」。これらは、さまざまな曲面の多面体的表現を構成し、その全曲率を再現可能にする。例えば、ステイナーのローマン面の多面体的表現は、辺を共有する4つの立方体から構成され、これによりその構造がより理解しやすくなる。ボー曲面の多面体的表現は、1985年ベルン出版の『トポロジコン』（p.48–49）で、組み立て可能なカットアウト形式で既に示されている。p.46には、トーラスおよびクラインの瓶の多面体的表現も掲載されている。クロスキャップの多面体的表現も提示する。実際、3次元空間への射影平面のさまざまな埋め込み（ボー曲面、クロスキャップ、ステイナーのローマン面）の全曲率はすべて2πである。多面体的尖点表現を、集中曲率を持つ点として扱うことで、曲率を非常に簡便に計算できる。クロスキャップ、ステイナーのローマン面、ボー曲面は、すべて「同一の対象」である射影平面の「多様な顔」として現れる。この関係は一見明らかではないため、それらの間をつなぐ幾何学的変換を構築する。まずクロスキャップから出発し、2つの追加の尖点を生成することでステイナーのローマン面に変換する（すなわち、一般的変形「尖点の生成・消滅」をこの方向に適用）。次に、ステイナー面を尖点のペアの融合によってボー曲面に変換する。補足として、球面の標準埋め込みを反対称埋め込み（球面の反転）に変形できることを用いて、クロスキャップの2つの尖点が、一連の埋め込みを経て交換可能であることを示す。これは、これらの2点が本質的に等価であることを示している。
序論：
読者は、本稿の初めに、『幾何学的物理学A』の序論にも記載されている一般的な要素（ポジコイン、ネガコインなど）を再確認できる。この節を飛ばしたい場合は、ここをクリックするだけでよい。
平面上に直線分で構成された三角形を描くと、頂点の角度の和はπとなる。この平面上の直線は、別の方法でも得られる：任意のテープを曲げずに、曲面に貼り付けることで得られる。このような平面の経路を「測地線」と呼ぶ。この方法により、たとえば自動車のドアやボンネットのような任意の曲面上にも測地線を描くことができる。
図1：3つの測地線からなる三角形
ポジコインとネガコイン
平面上に切り込みを入れ、2つの端を接着する。その後、テープで3つの測地線からなる三角形を描く。
図2：ポジコインの構成
前回の切り込みに沿って表面の2つの縁を分離すると（図3参照）、プロトラクターを用いて、角度A、B、Cの和がπ＋切り込み角αに等しいことが容易に確認できる。このユークリッド幾何学の和からのずれを「曲率」と呼び、三角形が角αの分だけ「曲率角量」を含んでいると述べる。このずれは、三角形がコーンの頂点を含んでいれば、どの三角形でも同じ値となる。頂点を含まない場合は和はπとなる。このように、曲率はコーンの頂点Mに集中しており、これを「集中曲率点」と呼ぶ。角度の和がユークリッド和より大きいことから、この曲率は「正」とされる。この観点から、平面は曲率がゼロの曲面であると見なせる。
図3：展開されたポジコイン
この曲率は加法的である。複数のコーン（角度α、β、γに対応）を組み合わせると、測地線弧からなるさまざまな三角形を描くことができる。三角形が3つの曲率点（それぞれα、β、γ）を囲んでいれば、頂点角の和はπ＋α＋β＋γとなる。
正の曲率を持つ曲面は、無限個の「ポジコイン」の集合として考えられる。曲率が点に集中するのではなく、曲面全体に均等に分布する。このような曲面を「定曲率曲面」（または「角曲率密度一定」）と呼ぶ。
図4：3つの測地線弧からなる三角形
球面上の測地線は「大円」である。赤道や経線は大円であり、球面の測地線弧である。しかし、テープを使って平行線を描くことはできない。平行線は球面の測地線ではない。球面上に描かれた三角形の頂点角の和は、三角形の面積と球面全体の面積の比に依存する。非常に小さな三角形の角度和はπに非常に近い。
球面面積の1/8を占める三角形の角度和は
A + B + C = 2π
球面上の大円は、3つの頂点を円周上の任意の位置に置くことで「三角形」と見なせる。このとき角度和はA + B + C = 3πとなり、球面の半分の面積を含む。
最大のずれはどれほどか？ 大円を超えて三角形を「拡大」することはできない。なぜなら、その先では測地線弧の長さが減少し、ゼロに近づくからである。
球面全体を包み込むと、
A + B + C = 5π = π + 4π
このとき、球面の「全曲率」は4πであると述べる。
図5：角度和。球面上の測地線弧からなる三角形
三角形が含む曲率量は単純な比例計算で求められる：
次に、図6に示すように、平面上に角度αの扇形を挿入することで「ネガコーン」を構成する。
図6：ネガコーン
扇形を削除すると、以下のようになる：
図7：展開されたネガコーン
この三角形の角度和はA + B + C = π − α
この曲面を「負の集中曲率を持つネガコーン」と呼ぶ。この曲率も加法的である。複数の小さなポジコインと小さなネガコインを接合することで、曲面を構成できる。