群の新しい公理系

群の新しい公理系 **

...ソリアウはアッシーの古い街にアパートに住んでいる。通りに面したドアは見事だ。玄関には珍しい車両が停められている：古びた人力車で、所有者はその女性、考古学者だったと思う。人力車は壁に寄りかかっている。あとは二人の運び手を見つけて、長い木の棒を輪に通し、座って散歩に出かけるだけだ。窓はガラス張りで、側面の窓ガラスはハンドルではなく、昔の鉄道車両のように革ひもで下ろせる。

...どれほど夢見るものだろう。私は人力車に乗ったことがないことに気づいた。失業が広がるこの時代に、アッシーの古い街に人力車の定期路線を始める人がいれば、生活が成り立つだろう。人力車の形を模した車両を作ればよい。それほど難しいことではないだろう。そして、刺繍の衣装と仮髮を二着手に入れれば、あとは出発だ。ルートはミラボー通り。これだけで十分だろう。あとは、夢を描き、少し想像力を働かせればよい。

...ジャン＝マリーは、猫のピウムと二人暮らし。広々としたアパートは、金箔や木製の装飾で満ちている。ピウムはとてもかわいい。だが、私は猫にあまり魅力を感じない。ただ、この猫だけは非常に親しみやすく、愛情深い。

私たちは通常、上の階のキッチンで作業する。天井裏の小さな部屋で、下の部屋の広さとは対照的に狭い。ジャン＝マリーは、いつも私が彼の好物であるフェルナン・ブランカ（アーティチョークを原料とする）を飲むように勧める。私は正直、この飲み物を非常に不快に感じているが、彼はこれをすべての効能を持つと信じている。

...街を歩くとき、彼はGPSを常に携帯している。実際に、4万キロ離れた衛星が、自分が歩いている通りを案内しているのを見るのは、とても魅力的だ。受信を良くするために、ソリアウは道路の中央を歩き、液晶画面に目を凝らしている。効果的ではあるが、やはり危険なこともある。

...私たちはよく楽しく過ごしている。12月のある夜、私は彼を訪ねた。そのときの会話は次の通りだった。

• 群について話そう。公理を覚えているか？

• はい、6つある。それは：

1 - 集合Eに属する要素a, b, c, …が存在する。

2 - 集合の二要素を組み合わせる内部演算o（「丸」）が存在する。

a ∈ E

b ∈ E

a o b ∈ E

3 - この演算は結合的である：

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 演算の単位元eが存在し、次の性質を満たす：

a o e = e o a = a

5 - 集合のすべての要素aには、逆元a⁻¹が存在し、次の性質を満たす：

a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e

これで5つ？

• あるいは5つ、あるいは4つ、あるいは1つ。公理の数え方は絶対的なルールはない。1と2を一つにまとめることもできる：

• 集合Eに属する要素a, b, c, …が存在し、内部演算oが次の性質を満たす：

a ∈ E

b ∈ E

a o b ∈ E

これは同値である。

• では、5つ、4つ、どうでもいい。どこへ向かいたいの？

• 4と5の公理、すなわち単位元と逆元の定義を消し去り、サンドイッチ公理で置き換える。総計、公理は次の通り：

1 - 集合Eに属する要素a, b, c, …が存在する。

2 - 集合の二要素を組み合わせる内部演算o（「丸」）が存在する。

a ∈ E

b ∈ E

a o b ∈ E

3 - この演算は結合的である：

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 集合Eに属する三要素a, b, cがあるとする。

方程式

a o y o b = c

は一意な解yを持つ。

これを「サンドイッチ公理」と呼ぶ。ここで「ハム」yはaとbの間に挟まれ、cが「サンドイッチ」そのものである。この公理は、

サンドイッチからハムを取り出すことは常に可能である。

と意味する。そして、この公理が群を定義するものであり、従来の公理と同値であると主張する。

• この一意な解yは、演算が内部的かつ結合的であるため、集合Eの要素である。

• もちろん、それは自明だが、言うことでより明確になる。

• だが、言うことでさらに良くなる。あなたが単位元と逆元に関する二つの公理を再構成する方法をどう考えるかは分からないが、少なくともこのアイデアに至った理由は理解できる。

• 「それは何の役に立つのか？」と考えたのだ。

• まさにその通り。単位元があることで何が得られるのか？ そのままだと、「集合Eと単位元があるなら、Eのすべての要素とそれ自身を合成しても結果は変わらない」という意味になる。まったく意味がない。同様に、逆元そのものに何の価値があるのか？ 群の計算では、常に右または左から要素やその逆元をかけて、a o a⁻¹やa⁻¹ o aを出現させ、それをeに置き換え、その後b o eやe o bをbに置き換える。あなたのサンドイッチ公理は「機能的」だ。

• もし望むなら。サンドイッチ公理から導かれる定理に移ろう。最初の定理は：

I - 自身と合成しても自身に等しい単位元eが存在する：

e = e o e

II - この単位元は一意的である。

証明：

サンドイッチ公理から出発する。方程式

a o y o b = c

は一意な解yを持つ。

b = c = aの場合も同様に成り立つので、

a o y o a = a

も一意な解を持つ。右からyをかける：

a o y o a o y = a o y

a o y = e とおく。

…これは集合の要素である。なぜならaとyは集合に属し、演算は内部的だから。したがって、集合に属する要素eが存在し、

e o e = e

が成り立つ。

…定理Iは証明された。次に一意性、定理IIに移る。もし一意性がなければ、別の要素fが存在し、

f o f = f

を満たすだろう。

すでに、

e o e = e

が成り立つ。

右からfをかける：

e o e o f = e o f

再び右からeをかける：

e o e o f o e = e o f o e

結合性を用いる：

e o (e o f) o e = e o f o e

これらは二つのサンドイッチである。それぞれを

p = e o (e o f)

q = e o f o e

とおく。

…サンドイッチ公理により、「ハムを取り出せる」、すなわち(e o f)とfの値が等しくなる。なぜならp = qだから。したがって、

e o f = f

…次に、fに関する仮定から再び出発する：

f o f = f

右からeを二回かけ、左からeを二回かける：

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

結合性を用いる：

e o (e o f) o f = e o e o f

再びサンドイッチ公理を用いれば、

e o f = e

よって、

e = f

定理III：このe（自乗しても同じ）を取ると、

a o e = a

が成り立つ。

証明：

再びサンドイッチ公理を使う。eの定義から：

e o e = e

右からaとeを順にかける：

e o e o a o e = e o a o e

結合性を適用する：

e o (e o a) o e = e o a o e

よって、

e o a = a

同様に、

e o e = e

左からaとeを順にかける：

e o a o e o e = e o a o e

結合性を適用する：

e o (a o e) o e = e o a o e

よって、

a o e = a

定理IIIは証明された。

定理IVに移る

（逆元の存在、a⁻¹と表記）

主張：集合の要素aが与えられたとき、次の式の解yは唯一つ存在する：

a o y o a = a

この解をa⁻¹と表記し、aの逆元と呼ぶ。この要素は次の性質を満たす：

a o a⁻¹ = e

a⁻¹ o a = e

証明：

この要素の存在と一意性は、サンドイッチ公理が次のように述べられるときの直接的な結果である：

パンの切れ端が互いに同一であり、サンドイッチそのものと同一であるとき、ハムはパンの切れ端（またはサンドイッチ）の逆元である。

a o y o a = a

結合性を二通りに適用できる：

(a o y) o a = a

a o (y o a) = a

すでに、

e o a = a

a o e = a

が成り立つことを知っている。

したがって、解yは次の性質を満たす：

a o y = e

y o a = e

この解が一意であることを示す。もし一意でなければ、別の解zが存在し、

a o z = e

z o a = e

が成り立つ。

最初の式の左からyをかける：

y o a o z = y o e

(y o a) o z = y

y o a = e より、

z = y

この解をa⁻¹と呼ぶ。これは唯一つの式

a o a⁻¹ o a = a

の解である。

したがって、新しい公理系は、従来の群を定義する性質と同等である。

よって、群はこの新しい公理系によって定義できる：

群の定義

1 - 集合Eに属する要素a, b, c, …が存在する。

2 - 集合の二要素を組み合わせる内部演算o（「丸」）が存在する。

a ∈ E

b ∈ E

a o b ∈ E

3 - この演算は結合的である：

a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)

4 - 集合Eに属する三要素a, b, cがあるとする。

方程式

a o y o b = c

は一意な解yを持つ。

集合Eの要素がこの内部演算を備え、これらの四つの公理を満たすならば、それらは群をなすと述べる。

定理：単位元は自身の逆元である。この新しい単位元の定義は、一つの式で行われるため、この性質の証明も新たな形になる。

e o e = e

これは特別な要素eの定義である。しかしサンドイッチ公理により、この式は逆元の性質（定義ではなく）と一致する。

別の定理：逆元の逆元は元の要素に等しい：

(a⁻¹)⁻¹ = a

a⁻¹ o a = e

a o a⁻¹ = e

aはa⁻¹の逆元である。よってこの性質が成り立つ。

次に、

(a o b)⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹

を示す。

計算する：

a o b o b⁻¹ o a⁻¹ と b⁻¹ o a⁻¹ o a o b

これらがeに等しいことを示す。

a o (b o b⁻¹) o a⁻¹

= a o e o a⁻¹

= a o a⁻¹

= e

もう一方の式についても同様。

• これは群という概念に対する別のアプローチである。

• 群の本体論。

• もし望むなら。

• だが、このアイデアが実り多そうだと感じている。

• では、すべてを忘れて、サンドイッチ公理さえも忘れてください。集合Eに結合的な内部演算oが定義されていると仮定する。この集合に、他のすべての要素と合成しても同じ結果を返す単位元eが存在するとする：

a o e = e o a = a

このeは一意的か？

• 存在すれば、必然的に一意的である。証明できる。

• ああ、そうか。

• 二つの要素aとbが、次の関係にあるとき、互いに逆元関係にあると定義する：

a o b = b o a = e

aが与えられれば、bはその逆元である。私は、逆元を持つ要素の部分集合に制限すれば、その部分集合は群をなすと述べる。これは群を「構成する」方法の一つである。つまり、集合から逆元を持つ要素を選び出し、その部分集合が群をなすと述べる。

この性質が内部的であることを示す必要がある。

• 何を意味するのか？

• 二つの要素aとa'がこの性質を満たすとする。すなわち、

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

aは逆元bを持つ。

a'は逆元b'を持つ。したがって、これらは対象となる部分集合に属する。a o a'が逆元を持つことを示す必要がある。

「丸」を省略する。

a' o b' = e

左からa、右からbをかける：

a a' b' b = a e b = a b = e

よって、

(a a') (b' b) = e

再び、

b o a = e

左からb'、右からa'をかける：

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

(b' b)(a a') = e

よって、逆元を持つ要素aとa'の合成a a'も逆元を持つ。

• 残りは、この部分集合が実際に群をなすことを示すことだ。

• そのため、この部分集合がサンドイッチ公理を満たすことを示す。すなわち、

a o y o b = c

は一意な解yを持つ。

• わかった。公理的に、先ほどとは逆のアプローチを取っている。前はサンドイッチ公理を仮定し、逆元の存在を導いた。今回は、集合のすべての要素が逆元を持つと仮定し、この性質を使ってサンドイッチ公理を再構成する。

• 方程式が一意な解を持つことを示す最も良い方法は、その解を構成することだ。上記の式の両辺を左からa⁻¹、右からb⁻¹でかける。

a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹

(a⁻¹ a) y (b b⁻¹) = a⁻¹ c b⁻¹

y = a⁻¹ c b⁻¹

• よって、yは方程式

a o y o b = c

の解である。

構成した解を代入すると、

a (a⁻¹ c b⁻¹) b = c

このとき、括弧の入れ替えが可能であると仮定し、結合性を一般化する。我々は（公理の一つとして）演算の列の中で二つの要素を分離できることを仮定している：

a o b o (c o d) = a o (b o c) o d = (a o b) o c o d = (a o b) o (c o d)

三つの要素を二つの括弧の間に含めることの正当性を示す必要があるが、証明なしに認めることにする。

応用：

...実数の集合に乗法×を演算として与える。これは内部的だが、この新しい公理系では群ではない。なぜなら、単位元eを定義する方程式

e o e = e

は二つの解を持つ：

e = +1 および e = -1

...前の構成を再び考える。集合（実数）と結合的演算（乗法）を与える。この集合には単位元1が存在するが、これは

e o e = e

の解として定義されるのではなく、すべての要素（自分自身を含む）と合成しても結果が変わらないという古典的な定義に基づく。すなわち、

集合Eのすべてのaについて、

e o a = a o e = a

が成り立つ。

古典的な逆元の定義から出発する：

a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e

...私たちは、逆元を持つ要素の部分集合が群をなすことを示した。したがって、0を除いた実数は群をなす。

n×nの正方行列を考える。単位元は、

対角成分が1、それ以外は0の行列である。

逆行列を持つ行列の集合は、一般線形群GL(n)と呼ばれる群をなす。

• 私はこのすべてがとても気に入っている。

• うーん…これは古典的公理系の一種の変形にすぎない。先週、グロノーブでエピステモロジーのシンポジウムでこの話を発表した。

続く