R³への曲面の埋め込みとは、接平面が連続であり、自己交差集合が存在しない表現を指す。球面やトーラスはR³に埋め込むことができる。
R³への曲面の浸漬（immersion）も接平面が連続であるが、自己交差集合が存在する。例：ボイの曲面、クラインの瓶。
埋め込みは常に浸漬に変換できる。球面を想定し、例えば反対側の2点（「極」）を内側で接触させるとする。この「非実体的」な浸漬の世界では、曲面が自己貫通することが可能になる。その結果、自己交差の「曲線」が生じる（ここでは円）。
しかし逆は常に可能ではない。例えば、射影平面はR³に埋め込むことはできないが、浸漬することはできる。その典型的な浸漬形態はボイの曲面であり、三重螺旋状の自己交差集合を持ち、3枚の面が交差する「三重点」を持つ。図29aおよび29bを参照。クラインの瓶も同様で、最小の自己交差は閉曲線である。『トポロジコン』46ページを参照。埋め込みは、自己交差集合が空である特殊な浸漬と見なすことができる。cuspidal（尖点）が現れる表現は、接平面の連続性の観点から見て特異点を持つため、浸漬とは言えない。このような表現を、R³における物体の「せん断」（cisaillement）と呼ぼう。R³における曲面のせん断は、ほとんど至る所で接平面が連続な浸漬と見なせるが、有限個の点を除いては接平面が不連続になる。しかし、これは十分な定義ではない。なぜなら、接平面の不連続性を導入する方法は多様であり、後で再びこの不連続性の問題に立ち返るからである。
曲面、およびより一般的に幾何学的対象（点、直線、閉曲線、「境界付き曲線」（線分または「b1球」）、円板など）は、言語の「語」や「文字」のようなものである。『トポロジコン』（cd-Lanturluを参照）では、これらすべての要素を豊富に用いて、「語」や「文」を構成し、文法に従って表現した。このような対象を「構成物」と呼ぶ。
幾何学的演算子としての変換が存在する。本稿では、cuspidal（尖点）の生成・消滅操作を記述した。詳しく説明しよう。
基本的な対象として、「ガンマ・シリンダー」と呼ぶものがある。
これは自己交差する線を持ち、上部の管状部分を絞ることで、2つのcuspidal（尖点）を生成する。
絞り込み操作を開始する： 
曲面の断面は常に「ガンマ」の形だが、管状部分が細くなっている。特異点の近傍を分析することは常に難しい。複数の描画が可能であり、それぞれ異なる種類の特異点に対応する。
点Gは2つの尖点の合流点を表す。英語圏では、すべての特異点を「cusps」と呼ぶ。辞書訳：角、頂点。しかし、角の頂点は円錐状の点である。ラルース：cuspide（尖点）とは、ラテン語「cuspida」（先端）に由来し、鋭く長い先端を意味する。合流によって生じる特異点は、他の形を取ることもできる。例えば： 
断面は同じ「逆V」だが、対象も特異点も異なる。いずれにせよ、一つの図形から次のように変化させることができる：
ここでは2つの尖点C1とC2が存在する。断面図は変化している（右図では、図の上に切断面を示している）。
これは「変更C」である。
詳細： 
友人に電話で尖点とは何かを説明したことがある。
「馬に乗っていると想像してみて。突然、足で馬を押しつぶし、2本の足（線分）を接触させる。馬の表面は変わる。右臀部が左肩と接続され、左臀部が右肩と接続される。」
「では、尖点はどこにあるの？」
「あなたがその上に座っているところだ。」
このように、面の接続が変化する現象を「手術（chirurgie）」と呼ぶ。以下に、先ほど述べた「馬」（放物面シリンダー）から尖点を構成する操作を示す。
「馬を押しつぶした後」： 
上部に尖点が現れる。
線分に沿って表面を押しつぶし、面の接続を変更する（手術）ことで得られる尖点は、球面を「クロスキャップ」（フランス語では「クロスキャップ・スフィア」）に変形する方法を理解する手がかりとなる。これは、ヘアアイロンで球面をピンチするようなものである。 
このように、ヘアアイロンは球面を単側面に変形する最も簡単な道具となる。
以下はクロスキャップの図示である。
小話：クロスキャップを「メッシュ化」するには、多面体表現から始める。
そこから尖点近傍のメッシュを導くことができる。
つまり、ヘアアイロンで押しつぶすことで、二側面の表面が自動的に単側面になるというわけではない。次の図を見てほしい： 
ここでは、2本の定規の間で球面をピンチしている。これは依然として二側面の表面のままである。塗り分けてみればわかる。2色で塗り分けられる（クロスキャップは単側面なので、2色では塗り分けられない）：
別の視点： 
このように配置された球面は、外側の半分と内側の半分を同時に見せている。この対象が見えにくい場合は、多面体表現を参照：
このような多面体表現に出会ったとき、「可縮セルへの分解」（『トポロジコン』、cd-Lanturluを参照）を適用し、オイラー・ポアンカレ特性を計算しようとする誘惑にかられる。球面（単なる立方体）やトーラスの多面体表現は、それぞれオイラー特性が2、0と計算できる。アルバムの47ページには「ボイ・キューブ」の組み立て図があり、辺が描かれている。この構造は、軽量合金で作られた「正方形断面のレインズ・プロファイル」を使って組むことができる。正方形の管をのこぎりで切断すれば、ほんの少し…