f5101 ボイの表面の解析的表現 J.P. ペティと J. ソリアウ .
**...**以下は、1981年に発表された、パリ科学アカデミーの『カウンス・レンデュ』に掲載されたノートの再掲である。署名は J.P. ペティと J. ソリアウ。
**...**この研究には、その歴史がある。1985年にベルン出版の『アンセルム・ラントルーの冒険』シリーズに『トポロジコン』が出版されるまでは、専門書におけるボイの表面の表現は極めて稀であった。たまに、石膏や鶏のゲージで作られた模型の写真が見られるだけだった。カリフォルニア大学バークレー校の数学部門に所属するチャールズ・パウは、鶏のゲージを用いた研究分野における世界最高の専門家である。実際、彼は、ベルナルド・モリンの球面反転を記述する模型を、この素材で製作し、大きな金銭的賞を受賞した。その後、これらの模型はネルソン・マックスによってデジタル化され、世界中の数学部門に広がった映像作品へと変換された。
**...**しかし、私は鶏のゲージという素材が、こうした高級科学的主題にはあまりふさわしくないと感じた。あるとき、彫刻家マックス・ゾーズと知り合いになり、彼が巧みに、あまり熱を加えず、材料に余計な応力を生じさせないよう、銅線を溶接する技術を教えてもらった。
**...**当時、アッシュ・ド・プロヴァンス美術学校の教授を務めていた友人ジャック・ブーリエ（別名ヴァッセリン）は、ある年、海外に赴いた教授の代わりを務めるよう私に依頼した。私はその仕事を引き受け、ゾーズと共に半日勤務をこなした。私が作品を考案し、ゾーズがそれを溶接した。生徒たちが私たちの周りを囲み、興味津々で、できる限り真似しようとしていた。その年、アッシュ・ド・プロヴァンス美術学校のこの一角は、数学的表面の大量生産工場のようになっていた。
**...**もし皆さんが挑戦したいなら、それほど難しくはない。銅線（直径1.5mm程度、最大2mm）のロールと、はさみがあればよい。これで、どんな表面にも含まれる2つの曲線族を再現できる。
**...**問題は、これらの物体を適切に形作ることにある。そのためには、経線と緯線が交差する接点を滑らかに動かせるようにする必要がある。良い解決策は、金属線を縫い糸で単純に縛ることだ。これにより、物体にしっかりとした剛性が得られつつ、変形や調整も可能になる。
**...**物体が数学的に自分の望む形に仕上がったと確信したら、銀の溶接を巧みに扱える人に、線材を加熱せずに溶接してもらう。ゾーズは、まさにこの技術を、熟練の芸術家のように使いこなしていた。
**...**ある日、私はボイの表面のプロトタイプを持ち込んだ。経線と緯線がどのように配置されるべきかを発見したのだ。どうやら、経線を、まったく見分けがつかないくらい楕円の族に見せられることが分かった。
**...**ゾーズはその物体を丁寧に再現した。その後、ソリアウの家を訪れた。彼の息子（物理学科の学位を取得する忍耐力を持たなかった）は、父親のApple IIで遊んでいた。私は彼に言った。
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ジェローム、純粋数学の論文を名前を出して掲載する機会があるけど、興味ある？
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まあ、どうして？ そのために誰か殺さなきゃいけないの？
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いっさい必要ない。この物体を見て。コンパスでこれらの楕円を測って、この表面の半経験的表現を構築してみよう。
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どうせやってみるよ、渡して。
**...**2日後、完成した。この論文はパリ科学アカデミーの『カウンス・レンデュ』に迅速に受理され、私たち二人、J.P. ペティと J. ソリアウの名前で掲載された。
**...**しかし、父親がジャン＝マリー、息子がジェロームという名前なので、数学界の多くは、この研究がソリアウ父と私との共同作業だと信じている。
**...**この表面をコンピュータで描く際、数行のBASICプログラムで実現したことで、多くの数学者が驚いた。彼らは、もっと複雑な方法を期待していたのだ。この出来事には、不愉快な影響もあった。数学者のベルナルド・モリンは、当時、アペリーという博士課程の学生を指導していた。アペリーは、無比な定理（整数の立方和は無理数である）を証明したアペリーの息子だった。その他にも……
**...**私はそのことを知らなかった。私たちの進展に、モリンは強く不安を感じた。特に、当時、私は無邪気に、この方法を使えば、彼の名声を高めた四耳表面（彼がパウの鶏のゲージで構築し、マックスによってデジタル化されたもの）を記述できると確信していた。
モリンは眉をひそめた。
- いや、それは不可能だ！
**...**後で話すとして、私はまったく逆の立場を貫いている。しかし、この言葉は、ローマ兵に数学の図形を邪魔されたアーキメデスが叫んだ有名な「Noli tangere circuleos meos!」（私の円を触るな！）に似ている。今回は、「私の楕円を触るな！」という感じだった。
**...**その後、アペリーは私の発見、すなわちボイの表面に楕円経線系を与えることができるという発見を活用し、この物体の最初の陰関数方程式を構築した：
f(x, y, z) = 0
**...**モリンは、自分の数学的業績に、私が「騒ぎを起こしている」と感じ、アペリーに、博士論文で、楕円のアイデアはゾーズが発見したと明記するよう強要した。ゾーズは否定しなかったが、事実はそうではない。証拠は私の地下室にある。私がゾーズに渡して、彼に丁寧に仕上げてもらった模型だ。
**...**結局、これはあまりにも滑稽な話だ。この出来事は、数学者が物理学者ほど優れているわけではないことを示すためのものだ。
**...**ポリテクニク出身のコロンナは、画像合成の先駆者であり、私たちの式をすべて無断で使用した。ただし、面白い点がある。もし画面にボイの表面の画像が表示されたら、「私たちのもの」なら、必ずその極付近に3つの小さな「しわ」が現れる。方程式の調整不足による欠陥である。ジェローム・ソリアウは、急いで作業したため、極の近くに最後の小さな鉄棒の調整が足りなかった。それでも、誰でも今なら修正可能だ。
**...**ボイの表面の物語は、まだ終わっていない。完璧にするために、一人の人物を紹介しよう。イタリアの億万長者、カルロ・ボニミ。私は、バミューダ三角地帯への探検旅行の際に彼と知り合った（しかし、それはまったく別の話だ）。当時、彼の豪華なヨットで、息をのむような贅沢な船旅をしながら、チャールズ・ベルリッツの著書に記載された沈没したピラミッドを探していた。ピラミッドは見つからず、周囲を徘徊する多数のサメに食われかけた。地図で調べれば、この「アトランティスのピラミッド」の位置は、キューバ南南西、カイ・サル・バルクというサンゴ礁の南50マイルの地点にある。
**...**二度のダイビングとカビアールの夕食の間、ボニミにボイの表面の大量生産をスポンサーしてもらうよう提案した。彼はそのアイデアに興味を持ち、その後、実現した。正確に言えば、パリ発見の宮殿の数学室に飾られているボイの表面は、ボニミが資金提供し、ゾーズが製作した。金融家は、ゴールドの実心線で作られた模型の展覧会を計画していたが、その後、何も進まなかった。長期間の沈黙に驚き、ミラノの事務所に電話したところ、P2ロッジのスキャンダルに巻き込まれ、収監され、その後、トポロジーへの関心は完全に失われた。
**...**ボイの表面の二重被覆（射影平面P2の像）は、球面S2である（『トポロジコン』参照）。パウは、二枚の鶏のゲージでこの被覆を構築した。これは、確かに非常に注目すべき作品だが、私は個人的には銅線と経線・緯線表現の方が好みだ。だが、純粋数学においても：
- De gustibus et coloribus non disputandum.（好みや色については議論しない）
**...**ノートを提示する前に、最後のエピソードをひとつ。パウは、1979年に鶏のゲージで7体の模型を製作し、球面反転の各ステップを記述した。その模型は、バークレー大学数学部門の食堂の天井に吊るされていた。この模型群は、世界中の数学者が巡礼の目的で訪れる、見事な一連の展示だった。
**...**しかし、ある夜、模型は盗まれ、その行方は誰も知らない。それらは、他に売れない厳密な無価値品だった。誰がこんな取引を受け入れただろうか？ あるいは、美術愛好家でありながら数学者でもある富豪が、自宅の防弾地下室に保管するために、この作業を資金提供したのかもしれない。そうすれば、世界で唯一、この「第八の奇観」（鶏のゲージで作られたもの）を眺められる人物になれるのだ。
**...**パウは、素材の扱いには長けているが、新たなシリーズを再び制作する勇気がなかった。
**...**すでにサイトの冒頭で述べたように、ヴェルナー・ボイの人生そのものも、未解明の謎のままだ。彼が自分の名を冠した表面を発明した後、大学を去った直後、彼は実体を失ったように消え去った。ヒルベルトの尽力にもかかわらず、彼の行方を突き止めることはできず、埋葬場所さえ不明である。
**...**数学に戻ろう。以下に提示するノートは、比較的読みやすい。式(1)から(8)を用いれば、目覚めている高校生でも、非常に美しい画像を構築でき、切断面が図5と一致することを確認できる。
C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 octobre 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. - ボイの表面の解析的表現。ジャン＝ピエール・ペティとジェローム・ソリアウによるノート。アンドレ・リシュネロヴィッチが紹介。
ここでは、ボイの表面の解析的表現を提示し、その描画を可能にする。
1. はじめに
**...**1901年に数学者ヴェルナー・ボイ（ヒルベルトの弟子）によって発明された表面は、数学者の間ではよく知られている。これは、球面反転の中心的なステップとして機能する（[1]および[2]参照）。
**...**1979年（J.P.P.）は金属線で模型を作成し、表面の経線の位置を明らかにした。1980年に彫刻家マックス・ゾーズと共同で行った第二の作業により、曲線が平面に配置され、楕円に非常に近い形状を持つ模型が再構築された。この模型から、ボイの表面のトポロジーを持つが、経線が唯一の極を通る楕円である表面の解析的表現を構築することが可能であると考えられた。
2. 楕円を用いたボイの表面の生成方法
**...**極を座標の原点に置く。この点で表面は平面(XOY)に接する。したがって、軸OZは三重対称性の軸となる（図1参照）。経線は、平面Pm上に存在する楕円である。平面Pmと平面XOYの交線をOX1とする。mを角(OX, OX1)とする。この平面Pm内に、OX1に垂直な軸OZ1を設ける。aを角(OZ, OZ1)とする。
図1および図2
**...**この解析的表現の第一パラメータは角mである。角aはmの関数として扱う（後で定義する）。平面Pm内に、OでOX1に接する楕円を描く（図2参照）。この楕円の軸は、X1OZ1の二等分線に平行とする。この楕円の軸の長さをA(m)、B(m)とする。この楕円Emは第二の自由パラメータqによって生成される。
**...**要するに、表面の点の座標X(m,q)、Y(m,q)、Z(m,q)が得られる。
**...**この半経験的手法では、(J.S.)が模型上で行った測定により、関数a(m)、A(m)、B(m)の近似が得られた。その後、Apple-IIで表面を描画し、Z=定数の断面を得た。これらの断面の検査により、ボイの表面とのトポロジー的同一性が確認された。この結果を得るには、(J.S.)による数値実験が不可欠であり、余計な特異点（カスプ点の対の出現）を排除することができた。
**...**我々は以下の式を採用した：
(1) A(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) + 1.98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) - 1.98 sin(3m - π/6)
(3)
**...**座標系X1 O Z1において、楕円Emの中心座標は：
(4)
(5)
**...**同じ座標系において、楕円上の点の座標は：
(6)
(7)
そして、x、y、zの座標は次式で与えられる：
(8)
