f5101 ボイの表面の解析的表現 J.P. ペティと J. ソリアウ .
**...**以下は、1981年に発表されたパリ科学アカデミーの『カウンツ・レンデュ』に掲載されたノートの再録である。署名はJ.P. ペティとJ. ソリアウ。
**...**この研究には物語がある。1985年にベルン出版社の「アンセルム・ラントルーの冒険」シリーズで『トポロジコン』というアルバムが発表されるまでは、専門書におけるボイの表面の表現は非常に限られていた。たまたま見られるのは、石膏や鶏糸網で作られた模型の写真ばかりだった。カリフォルニア大学バークレー校の数学部門に所属するチャールズ・パグは、鶏糸網の専門家として世界一の評価を受けている。実際、彼はこの素材を使って、ベルナルド・モリンによる球面の裏返しを描写する模型を作成し、そのモデルはネルソン・マックスによってデジタル化され、世界中の数学部門に広がった映像作品となった。その際には、大きな金銭的報奨も得た。
**...**しかし、私は鶏糸網という素材が、こうした高級科学的主題にはあまりふさわしくないと感じた。あるとき、彫刻家マックス・ゾーズと知り合いになり、彼の巧みな技術を学ぶことになった。マックスは銅線を柔軟かつ剛性を持たせながら、過度に加熱しないように注意深く溶接していた。これは、素材に余計な応力を生じさせないためだった。
**...**当時、アーサン・プロヴァンスの美術学校で教鞭を執っていた友人ジャック・ブリエは、私の代わりに海外へ出張した教授の補佐を依頼した。私はその仕事に応じ、ゾーズとともに半分の時間勤務をこなした。私が模型を設計し、ゾーズがそれを溶接した。学生たちは私たちの周りをうろうろとしながら興味津々で、できるだけ真似しようと努力していた。その年、アーサン・プロヴァンス美術学校のこの一角は、数学的表面を大量生産する工場のようになっていた。
**...**もしあなたがこれを試してみたいなら、それほど難しくない。まず、直径1.5mm程度の銅線のロールと、ニッパー（切断用のピンセット）が必要だ。これがあれば、どんな表面にも含まれる2つの曲線族を再現できる。
**...**問題は、これらの物体を適切に形作ることだ。そのためには、経線と緯線が交差する点を滑らかに動かせるようにすることが重要である。良い解決策は、金属線を縫い糸でしっかりと結ぶことだ。これにより物体は安定するが、同時に変形や調整も可能になる。
**...**あなたがその物体が数学的に自分の望む形に仕上がったと確信した時点で、銀の溶接技術に長けた誰かに渡すことができる。マックスのように、棒を過熱せずに正確に溶接できる人だ。
**...**ある日、私はボイの表面のプロトタイプを持ち込んだ。経線と緯線がどのように配置されるべきかを発見したのだ。どうやら、経線を楕円の族に見立ててうまく調整できることがわかった。
**...**マックスはその模型を丁寧に再現した。その後、ソリアウの家へ向かった。彼の息子（物理学科の学位を取る気力がなかった）は、父親のApple IIで遊んでいた。私は彼に言った。
「ジェローム、純粋数学の論文を自分の名前で発表したいと思うかい？」
「まあ、いいけど、それには誰か殺さなきゃいけないの？」
「いらないよ。この模型を見て。コンパスを使って、これらの楕円を測って、この表面の半経験的表現を作ってみよう。」
「やってみるよ。どうぞ……」
**...**2日後、完成した。その論文はパリ科学アカデミーの『カウンツ・レンデュ』に迅速に受理され、私たち二人、J.P. ペティとJ. ソリアウの名前で発表された。
**...**しかし、父親がジャン＝マリー、息子がジェロームという名前であるため、数学界の多くは、この研究がソリアウ父子と私の共同作業だと信じている。
**...**コンピュータ上で、わずか数行のBASICプログラムを使って表面を描画したところ、多くの数学者が驚いた。彼らはもっと複雑な何かを期待していたのだ。この出来事には、不快な結果もあった。数学者ベルナルド・モリンは、アペリーという博士課程の学生を指導していた。アペリーは、整数の立方和が無理数であるという「不思議な定理」で有名なアペリーの息子だった。
**...**私はそのことを知らなかった。私たちの進展にモリンは強い不安を感じた。さらに、当時単純に私が、「この方法を使えば、彼が有名にした四つの耳を持つ表面も記述できるはずだ」と述べたため、ますます焦った。それは、パグが鶏糸網で作成し、マックスがデジタル化した表面だった。
モリンは眉をひそめた。
「いや、それは不可能だ！……」
**...**後で話すとして、私はまったく逆だと確信している。しかし、この言葉は、ローマ兵に数学の思索を邪魔されたアーキメデスが叫んだ有名な一言「私の円を触るな！」の現代版だった。ここでは、「私の楕円を触るな！」という感じだった。
**...**その後、アペリーは私の発見、すなわちボイの表面に楕円経線系を与えることができるという点を活用し、この物体の最初の陰関数表現を構築した：
f(x, y, z) = 0
**...**モリンは、自分の数学的業績の中に私が「悪者」として登場することに激怒し、アペリーに博士論文で「楕円の発見はゾーズが行った」と明記させた。ゾーズ本人は否定しなかったが、事実はそうではない。証拠は私の地下室にある。私がゾーズに渡して、彼が仕上げてもらった模型だ。
**...**結局のところ、これはあまりにも滑稽な話である。この出来事は、数学者が物理学者と比べて特別に優れているわけではないことを示している。
**...**ポリテクニー校のコロンナという先駆者（画像合成の分野で）は、私たちの式をすべて無断で使った。ただし、面白い点がある。もし画面にボイの表面の画像が現れたなら、「私たちのもの」であれば、必ず極付近にわずかに「しわ」が3つ見えるだろう。これは方程式の調整不足による欠陥である。ジェローム・ソリアウは急いで作ったため、極の近くに最後の小さな鉄棒で補正を加えるべきだった。それでも、誰でも今なら修正可能だ。
**...**ボイの表面に関するこの物語は終わっていない。もう一人の人物を紹介しよう：イタリアの億万長者、カルロ・ボニミ。私はバミューダ三角地帯への探検旅行で彼と知り合った（それはまったく別の話だ）。当時、彼の豪華なヨットで、息をのむような贅沢さの中で、チャールズ・ベルリッツの著書に登場する「沈没したピラミッド」を探していた。しかし、ピラミッドは見つからず、周辺には多数のマグロがいたため、私たちも危うく食い殺されるところだった。地図で調べると、この「アトランティスのピラミッド」とされる場所は、キューバ南西50マイル、カイ・サル・バルクというサンゴ礁の南西にある。
**...**二度のダイビングとキャビア料理の夕食の間、ボニミにボイの表面の大量生産をスポンサーしてほしいと提案した。彼は気に入り、その後も続いた。結論として、パリ発見宮殿の数学室に飾られているボイの表面は、ボニミが資金提供し、ゾーズが制作したものだ。金融家は、金線で作られた模型を展示する展覧会を計画していた。しかし、その後の動きはなかった。長期間の沈黙に驚き、ミラノの事務所に電話したところ、P2ロッジスキャンダルに巻き込まれ、逮捕され、その後、トポロジーへの関心は完全に失われてしまった。
**...**ボイの表面の二重被覆（射影平面P²の像）は球面S²である（『トポロジコン』参照）。パグはこの被覆を鶏糸網の二枚で構築した。これは非常に注目すべき作品だが、私は個人的に銅線と経線・緯線表現の方が好みだ。しかし、純粋数学においても：
「趣味や色には議論するべきではない。」
**...**最後に、ノートを提示する前に、もう一つのエピソードを紹介しよう。パグは鶏糸網で7体の模型を作成し、球面の裏返しの各ステップを描写した。そのモデルは、バークレー大学数学部のカフェテリアの天井に吊るされていた。1979年に（J.P.P）が金属線で模型を作成し、表面の経線の位置を明らかにした。1980年に彫刻家マックス・ゾーズと共同で第二の模型を再構築し、曲線が平面にあり、楕円に近いように配置された。この模型から、ボイの表面のトポロジーを持つが、経線が唯一の極を通る楕円となるような解析的表現が可能であることが示唆された。
**...**世界中の数学者が、この素晴らしい一連の模型を訪ねては、その美しさに心を奪われた。しかし、ある夜、これらの模型が盗まれ、その後の行方は誰も知らない。7体の模型は、他に売れない以上、誰が買い取ろうとしただろうか？あるいは、芸術的でもあり数学的な趣味を持つ富豪が、それらを地下の強化された倉庫に保管し、世界で唯一、この「第八の奇跡」（鶏糸網で作られたものだが）を観察できる自分だけの喜びを楽しんでいたのかもしれない。
**...**パグは、素材の扱いには長けていたが、再び新しいシリーズを始める勇気は持てなかった。
**...**すでにサイトの冒頭で述べたように、ヴェルナー・ボイの生涯そのものも謎のままだ。彼が自分の名前を冠する表面を発明した後、大学を去った直後に、まるで消えてしまった。ヒルベルトの調査でも、彼の行方はわからず、埋葬場所さえ不明である。
**...**数学に戻ろう。以下に提示するノートは、比較的読みやすい。式1～8を用いれば、目覚めた高校生でも美しい画像を構築でき、図5と一致することを確認できる。
C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 octobre 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. - ボイの表面の解析的表現。ジャン＝ピエール・ペティとジェローム・ソリアウによるノート、アンドレ・リシュネロヴィッツが紹介。
ボイの表面の解析的表現を提示し、その描画を可能にする。
1. はじめに
**...**1901年に数学者ヴェルナー・ボイ（ヒルベルトの弟子）が発明した表面は、数学者の間ではよく知られている。これは球面の裏返しにおける中心的なステップとして機能する（[1]および[2]参照）。
**...**1979年（J.P.P）は金属線で模型を作成し、表面の経線が取りうる位置を明らかにした。1980年に彫刻家マックス・ゾーズと共同で行った第二の作業により、曲線が平面にあり、楕円に近い配置となる模型が再構築された。この模型から、ボイの表面のトポロジーを持ち、かつ経線が唯一の極を通る楕円となるような解析的表現の構築が可能であることが示唆された。
2. 楕円を用いたボイの表面の生成方法
**...**極を座標の原点に置く。この点で表面は平面(XOY)に接する。したがって、軸OZは三重対称性を持つ（図1参照）。経線は平面Pm上にある楕円である。平面Pmと平面XOYの交線をOX1とする。mを角(OX, OX1)とする。この平面Pm内にOX1に垂直な第二の軸OZ1を設け、角(OZ, OZ1)をaとする。
図1および図2
**...**この解析的表現の第一パラメータは角mである。角aはmの関数として扱う（後で定義する）。平面Pm内に、O点でOX1に接する楕円を描く（図2参照）。この楕円の軸はX1OZ1の二等分線に平行とする。楕円の軸長をA(m)およびB(m)とする。この楕円Emは第二の自由パラメータqによって生成される。
**...**要するに、表面の任意点の座標X(m,q), Y(m,q), Z(m,q)が得られる。
**...**この半経験的アプローチでは、(J.S.)による模型上の測定から、関数a(m), A(m), B(m)の近似が得られた。その後、Apple-IIで表面を描画し、Z=定数での断面を得た。これらの断面の検討により、ボイの表面とのトポロジー的同一性が確認された。しかし、これは数値実験（J.S.）によってのみ可能となり、余計な特異点対（尖点ペアの出現）を排除した。
**...**我々は以下の式を採用した：
(1) A(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) + 1.98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1.41 sin(6m - π/3) - 1.98 sin(3m - π/6)
(3)
**...**座標系X1OZ1において、楕円Emの中心座標は：
(4)
(5)
**...**同じ座標系において、楕円上の任意点の座標は：
(6)
(7)
そしてx, y, zの座標は次式で与えられる：
(8)
