トーラスをR³に埋め込む際のホモトピーのクラスについて再度考察しよう。この2つの図形は、「C変換」と呼ばれる変形によって容易に結びつけることができる。トーラスをどこかで「自己貫通」させ、二重点の線として円を形成する。
「二色」を使用している：トーラスの外側は灰色、内側は白色。上記の自己貫通（「標準トーラス」の無限に存在する埋め込みの一つに至る）により、表面の一部が白色として現れる。
次に、トーラスの軸上に位置する点からこの図形を観察しよう。
上図では、自己貫通によって現れたトーラス内部（白色）の部分が見える。この状態で「C変換」を適用し、二つの尖点（cusp）を生成できる。
矢印で示された点で、通路を「絞る」操作を行う。この操作によって、二つの尖点C1とC2が生じる。
これら二つの尖点は、次のように移動させることができる。
最後に、C⁻¹変換（二つの尖点の合流）を施す。
得られた図形は以下の通りである。
このトーラスの埋め込みは、標準トーラスとホモトープである。
この「C」操作とその逆操作「C⁻¹」が、R³における曲面のねじれ（shearing）の世界を拡張することができ、興味深い結果をもたらすことがわかる。古典的な曲面（球面、射影平面、トーラス、クラインの瓶）のすべてのねじれを構成できる。この集合にはいくつのクラスがあるのだろうか？
すでに述べたように、球面と射影平面は同じクラスに属する（ボーの表面の右側と左側も同様）。では、トーラスのねじれにはいくつのクラスがあるのだろうか？間違っていたら申し訳ないが、この問題は現時点では解決されていないと信じている。C操作によって、トーラスの埋め込みの一つのクラスから別のクラスへ移行できるだろうか？直感的には「できない」と答える傾向があるが、これはあくまで「予想」にすぎない。
ある構成が不可能性を証明することはできないが、可能性を示すことはできる。もし誰かが、クラス間を飛び越える構成を見つけたならば、その定理は事実上証明されたことになる。しかし、そのような構成が見つからないからといって、それが証明されたわけではない。証拠がないことは、存在しないことの証明ではない。R³におけるトーラスのねじれに4つのクラスがある、あるいは1つのみがある、という主張はいずれも「予想」であり、単なる信念にすぎない。
実際、スメールは、フィリップスが最初の構成を与えるよりも前に、球面の裏返しが可能であることを証明していた。逆もまた然りかもしれない。しかし、幾何学的直感に完全に反するこのような挑戦を思いついたのは誰だったのだろうか？
C変換は、球面をクロスキャップに、さらにステインァーのロマーヌ面を経てボーの表面に変形できる。詳細は記事を参照のこと。この変換は、トーラスをクラインの瓶に変形できるだろうか？論理的には可能だろうが、この問いに対する答えはまだ持っていない。
ついでながら、「射影平面」という言葉の由来は何か？提示された図形は一方向的（unilatère）であるが、有限のものである。スリアウの回答は以下の通りである。
- 平面上には「無限遠の直線」がある。この平面を無限遠の直線に沿って貼り合わせるだけである。
- その直線は、当然ながら閉曲線である。
『トポロジコン』には、3回巻きのメビウスの帯がボーの表面に変形するアニメーション（「フェリタブル」）が掲載されている。最後の画像では、この表面が1つの円板を除いて描かれている。この円板を追加すれば表面は完成する。つまり、ボーの表面とは、メビウスの帯に円板を加えたものである。演習：『トポロジコン』のツールを使って、この表面のオイラー・ポアンカレ標数（値は1）を再計算してみよ。
逆に、円板から始め、自己貫通しながら成長させ、3回巻きのメビウス帯に再び貼り付けるという別の構成も可能である。
これらの図は、1987年4月4日・5日、アッシュ＝アン＝プロヴァンスで開催されたラカン主義精神分析会議において、私が「変態（Perversion）」をテーマにした55ページの発表資料に含まれていたものである。この資料は主催者らが編集した議事録に掲載されている。今後、このテキストを「ラカンにおけるJPP」と題する文書に活用する予定である。
最初の画像：変形する円板。
次に、自己交差集合の形成の始まり：
次の図：三重点の出現。
陰影を省略する。表面がすでに一方向的になるためである。
次に、表面が自らの境界に沿って貼り合う準備が整った状態。
ここでは、3回巻きのメビウス帯が描かれ、表面を完成させている。
次の図：同じメビウス帯。
その後、完全に形成されたボーの表面。『トポロジコン』に掲載された画像と比較して、「下から見ている」とは言えない。ボーの表面には「頭」も「尾」も存在しない。この状態では、三重点が見える。
次に、自己交差集合の様子：
ご覧の通り、あなたは目の前で平面が「無限遠の直線」に折り返されている様子を観察した。このため「射影平面」と呼ばれる。一見奇妙な名前だが、おそらくこれが人々に無限を最も近く見せた最初の例かもしれない。
これらの画像は20年以上前に作成されたものであり、このウェブサイトやCDがようやくそれらを提示する機会を提供している。読者は、「パール・ラ・サイエンス」や「ラ・リサーチ」に掲載されていない理由を疑問に思うかもしれない。それらの雑誌に原稿を送ったことは何度もあるが、編集部はそのテーマに興味を示さなかった。
この「幾何学的ツールキット」を手にしたあなたが、新たな曲面を次々と発明することを期待している。以下に、イヴァルス夫人が考案した曲面を紹介する。球面を、直径方向に二つの同じ長さの線分を押し込み、接触するまで押し込む。これらが二つの棒に溶接されていると想像してみよう。
線分が接触した瞬間、「手術」が行われる。線分に沿って面が交差し、それぞれの端に二つの錐点（conical points）が生じる。以下はこの表面の断面図。
同じ表面を透視図で描くと以下のようになる。
工具の半径……