ジェインズ不安定性と宇宙重力

エピステトロンプロジェクト 2

重力不安定性または
ジェインズ不安定性

2004年5月6日

「点質量が静止している一定密度の粒子（粉塵）で満たされた球体」を想定する。この球体の半径は R であり、質量 M を表す。この球体の表面に質量 m があるとする。ニュートンの法則を適用すると、わずか2行の計算で、同名の宇宙論モデルを記述するフレドマン方程式が得られる：

この2階微分方程式の3つの解のタイプを再確認できるだろう。これらは以下のモデルを表す：

• サイクロイド的（R がサイクロイド的）
• 双曲的（R が漸近線に近づく）
• アインシュタイン・デ・シッター型（tq 型）

1934年、ミルンとマック・クリアは、一般相対性理論の基本方程式がニュートン力学から生じうることを示した。1970年代には、私はボルツマン方程式のマクスウェル解をポアソン方程式と結合させることで、同様の結果を得た。以下は省略。

ここでは、アインシュタインとデ・シッターが構築した「tm」型解に注目する：

この方程式を無次元化するため、半径の初期値を特徴的な長さとして導入する。すると特徴的な時間スケールが現れる。

アインシュタイン・デ・シッター解は、初期条件が「爆発的」な膨張を示すが、t を -t に置き換えても対称性を持つ。その結果、t = 0 を中心に左右対称な2つの放物線が得られる（t = 0 は当然任意）。左側の曲線を「読む」と、自己加速する重力収縮の記述が得られる。

この現象に関連して、特徴的な時間スケールが現れる。これを「ジェインズ時間」と呼ぶ。したがって、運動エネルギーのない粒子（粉塵）の集まりが、いかなる大きさ 2R であっても、その密度の値にのみ依存する時間で収縮する（衝突を除く）。

次に、逆の現象を考える。質量 m の粒子からなる、サイズ L の雲が、熱運動（熱的揺らぎ）の影響を受けているとする。重力は無視する。この雲は、熱運動の平均速度 と L を用いて表される特徴的な時間で拡散する。この時間は、L / で与えられる。これを「拡散時間 td」と呼ぶ。気体の球体内では、この拡散と重力収縮が拮抗する。ここで、拡散時間が収縮の特徴時間よりも大きい、あるいは、考慮中の「塊」の大きさが特定の長さ（ジェインズ長 Lj）を上回っている場合、重力収縮が抑制される。

ジェインズ長 Lj は、熱運動速度 に比例し、密度 r の平方根に反比例する。したがって、「加熱すれば安定化する」と言える。

• 何が加熱するのか？（例：星間ガス）→ 答え：紫外線を発する高温の星。

• 何が冷却するのか？→ 放射損失（ガスが赤外線を放出する）。

星間ガスは、こうしたプロセスによって「水道の蛇口」のように働き、恒星がガスを加熱・膨張させ、冷却が進むと重力不安定性が生じて星が形成され、その星が再びガスを加熱するという、恒常的な自己調整（ホメオスタシス）を維持する。これは「反抑圧」メカニズムである。星の形成は、ガスに対して「抗うつ薬」のような役割を果たす。このガスは、渦巻銀河では、直径10万光年に対して数百年光年の厚さしかない非常に平らなディスクに閉じ込められている。これは銀河の大きさに比べて極めて薄い。このガス層は「マイクロスリーブ」のような幾何学的形状を持ち、その厚さは、どこでも同じである。なぜなら、その厚さは、同じ「反抑圧」メカニズムによって制御されているからである。

一部の皆さんは、シミュレーションで重力不安定性を再現しようと試みたが、失敗した。なぜなら、ガスがやりすぎに高温だったり、点質量が十分に重くなかったため、ジェインズ長が初期塊の直径よりも大きくなっていたからである。2次元での類似現象も、球体上で観測される。一部の皆さんがそうした。2次元版のジェインズ理論を構築してみるのも面白いだろう。その場合、特徴的な長さは、球体の「表面」における2次元の熱運動速度に比例する。密度の役割は3次元と同様であるが、今日はあまり詳しく説明したくない。なぜなら、宇宙は3次元であり2次元ではないため、実質的な意味は薄い。しかし、定性的には現象は類似している。2次元のジェインズ長が球体の最大円周よりも大きい場合、塊は形成されない。逆に、ジェインズ長が円周に比べて非常に小さい場合、多数の塊が形成される。2次元球体の計算プログラムを手に入れれば、この現象を遊んでみることができる。アゴスティーニが素晴らしいプログラムを作成しており、次のディレクトリにインストールする予定である。実行ファイルとソースコードの両方が提供されるので、自由に改造できる。言語はパースカルである。

膨張は冷却を引き起こす。断熱的膨張は不安定性を引き起こす。

ジェインズ長が √R に比例することから、断熱的膨張する系は必然的に不安定になり、分割する。もし光子や宇宙背景放射が存在しなければ、宇宙は初期段階から塊を形成していたはずである。しかし、物質と放射の結合が重力不安定性を抑制し、宇宙が再結合する（約10万年）まで、不安定性は抑制されていた。この時点で、水素の熱運動速度が3000Kをわずかに下回る状態、かつ当時の密度を用いると、ある特定のジェインズ長が得られる。この長さに含まれる質量を計算すると、当時のジェインズ質量は約10万太陽質量に相当する。したがって、再結合の時点で、球状星団に相当する質量の塊が分離して形成されたと考えるのが自然である。

最後に、小さな一言。私がマルセイユ天文台に赴いたとき、私は「流体力学研究所」（別名「プルトメカニクス研究所」）という、極めて不快な環境から逃れるためだった。この研究所は、現在のマルセイユ・バスステーションの近く、サン・シャルル鉄道駅の隣にあったが、数年前に取り壊された。その所長はすでに地の下である。1966年、私はここでヴェリコフ不安定性を消滅させた。その結果、周囲は大いに騒がされた。ある日、ガス砲型のMHDインパルス発生器の前で座っていたとき、「お前、ここから逃げなければ、他のやつらと同じになるぞ」と思った。その結果、数か月で、ケイプマンとカウリングの『非均一気体の数学的理論』（Cambridge University Press）という、熱力学ガス理論の優れた教科書を読み終えた。この本は、極めて良いものであり、より深い理論を学びたい人には、二重ベクトル、二重行列を用いた計算の入門として強くお勧めしたい。消化の過程で、いくつかのアイデアが浮かび、博士論文を構築した——まさに「ボート」のようなものだった……