測地線に関する問題
測地線に関する問題
あなたは、テープを使って曲面上に測地線を描くことができます。質問：ある円錐面上に描かれた測地線が再び交差する条件は何か？
回転円錐の一点から、その母線に垂直な方向に測地線を出発させます。
この円錐の回転軸に対して対称な母線を考えます（任意の円錐は、測地線の描画に影響しない形で回転円錐に変形できます）。上図の場合、円錐を平らに広げると次のようになります：
ここで、切り開きの角度が円錐頂点における角曲率の総量を表していることがわかります。表面は「展開可能」なので、測地線は平面における直線に変換されます。
測地線が再び交差するためには、切り開きの角度が180°以上でなければならないことがわかります。つまり、円錐が十分に尖っている必要があります。
円錐を再構成すると、次のようになります：
円錐の測地線は頂点に到達できるか？
頂点に到達できるのは、円錐の母線のみです。円錐面上に描かれたいかなる測地線も、頂点にいくら近づいても、その頂点から離れていくことになります。たとえ「頂点に近づくように描かれたように見える」場合でも、頂点から最も近い点を結ぶ母線を引くと、その母線は測地線と直角に交差します。この測地線の反対側に沿って切り開き、平らに広げることができます。
どれほど尖った円錐であっても、得られるのは繰り返しの交差にすぎません。
測地線は無限に再交差できるか？ 円錐を展開すると、測地線が頂点と交点を結ぶ母線に「跳ね返る」ように見える。
上図では明らかに、「跳ね返り」によって母線の二つの部分が互いに再交差しなくなるような方向に進んでいます。複数の交差を生じさせるには、非常に尖った円錐が必要です。
しかし、各「跳ね返り」ごとに角度が広がり、最終的には2π - qの領域に閉じ込められます。したがって、交差の回数は有限です。
円錐の母線は非常に特別な族を形成します。しかし、いったい「円錐」とは何か？
左図の図形に相当する物体を「円錐」と考えることができます。この場合、測地線・母線は半直線になります。
一方、右図の物体を「円錐」と見なすこともできます。この場合、測地線とは何か？ 二点を結ぶ最短経路と定義するならば、次のような状況に遭遇するかもしれません：
このように、各母線が二つの半円錐の間で連続的に延長され、一つの連続的な構造を形成するような円錐構造を採用できます。三次元空間におけるこのような点を「円錐点」として考えることができます（『幾何学的物理学A』の第11章を参照）。
他の種類の特異点
カスプ点は特異点の一種です。他にもいくつかの特異点が存在します。たとえば、「円錐点」や「毛髪点」（表面の折り返し点）など。
左：円錐点を備えた球面。右：毛髪点を備えた球面。
円錐点は、ピンで押すことで作られます。この変形を「円錐点の生成」と呼び、Pと表記し、その逆変形をP⁻¹とします。
同様に、毛髪点の生成は変形Hに対応します。実際、毛髪点の生成は円錐点の生成の後に行われます。これは頂点角が0になった円錐点です。したがって、表面の局所的な毛髪点の生成に至る変形はP Hであり、その逆はH⁻¹P⁻¹です。
表面を変形する方法はこれ以外にもあります。たとえば、二面角（dièdre）を生成する方法があります。この変形をDとします。これは、表面が滑らかである場合、閉じた経路に限定して独立して実行可能です。最も簡単な例は球面です。たとえば、赤道に沿って「折り目」をつけることができます。この折り目には「線形曲率」が含まれており、これは『幾何学的物理学A』の序論でも扱われたテーマです。
滑らかな表面において、この変形が線分に作用する場合、その両端はそれぞれ変形Pを受けることになります。
球面、つまり「柔らかい」可変球面を想定します。内部に剛体の定規（線分）を持ち込み、球面を押し込みます。定規の両端が表面に接触し始めます。ピンによる効果として、わずかな円錐点が生じます。さらに押し込むと、線分は球面に接触しますが、まだ二面角は形成されていません。線分が球面に接しているということは、球面上に直線ABが存在するということですが、これは球面に折り目があることを意味するわけではありません。これはキャンプテントの設営にたとえられます。二本の杭を立て、それらを結ぶワイヤーを張ります。しかし、テントの内部が空気で膨張している場合、布地はワイヤーの下で垂れ下がり、折り目はできません。
変形Pの効果：点Aと点Bに円錐点が生成される。
その後、ワイヤーを張る。しかし、テント内部が空気で膨張している場合、布地はワイヤーの下で垂れ下がり、折り目はできません。
ワイヤーを張ると、表面は直線ABを持つ。しかし、風が吹き、テントがわずかに圧力が加えられると、線分の周囲では接平面の連続性が維持され、テントの見た目は別の角度から観察される。
風が止むと、テントの壁は自重によって下がり始めます。運動が開始されると、接平面の連続性が破られ、二面角が現れます。変形D。
このような変形は、何に役立つのか？
実用的な応用に進む前に、別の変形を定義する必要があります。円錐を考えると、その頂点は「角曲率」を集中させます。もし円錐点が「真の」円錐の一部でなく、側面に曲率が存在しない場合、その点の近傍では表面は円錐と見なせます。つまり、表面の円錐点には「接円錐」が存在するということです。
しかし、再び円錐に戻りましょう。二つの円錐点を容易に隣接させることができます。実際に、平面から二つの切り開きを施して、このような表面を物理的に構築することも可能です：
AとBから出る線は単に「…」