多面体表現による尖点の表現、その集中曲率の計算。
さまざまな表面の多面体表現。
クロスキャップの尖点の入れ替え。
「右」のボー表面から「左」のボー表面への変換、ステインァーのロマネス表面を経由して。
ボー表面の「右」から「左」への反転。
ジャン＝ピエール・ペティ
CNRS 研究所長
1988–1999
要旨：
集中曲率を持つ点を表現するためのいくつかの要素を提示する。すなわち「ポジコーン」、「ネガコーン」、およびそれらの多面体的対応物である「ポジコイン」、「ネガコイン」。これらを用いることで、さまざまな表面の多面体的表現が可能となり、それらの全曲率を再現できる。例えば、ステインァーのロマネス表面の多面体的表現は、辺を共有する4つの立方体から構成され、これによりその理解が容易になる。また、1985年ベルン出版の『トポロジコン』48–49ページで、多面体的表現として切り取り型の構成図がすでに示されている。46ページには、トーラスとクラインの瓶の多面体的表現も掲載されている。クロスキャップの多面体的表現も提示する。平面射影をR³に埋め込んだ場合の、それぞれの浸漬（ボー表面、クロスキャップ、ステインァーのロマネス表面）の全曲率は2πである。多面体的表現による尖点（集中曲率を持つ点として扱う）の取り扱いにより、全曲率を非常に簡単な方法で計算できる。クロスキャップ、ステインァーのロマネス表面、ボー表面は、すべて同一の対象である「平面射影」の「多様な顔」として現れる。この関係は一見明らかではないため、それらの間をつなぐ幾何学的変換を構築する。まずクロスキャップから出発し、2つの追加の尖点を生成することでステインァーのロマネス表面に変換する（すなわち、一般変形「尖点の生成・消滅」をこの方向に適用）。次に、尖点のペアの合流によって、ロマネス表面をボー表面に変換する。補足として、球面の標準的埋め込みが反対称埋め込み（球面の裏返し）に変換可能であることを用い、クロスキャップの2つの尖点が、連続する浸漬の系列によって交換可能であることを示す。これにより、これら2点が等価であることが示される。
序論：
読者は、本稿に含まれる一般的な要素は、『幾何物理学A』の序論にも同様に記載されている（ポジコーン、ネガコーンなど）。この部分を飛ばしたい場合は、ここをクリックするだけでよい。
平面上に直線分で構成された三角形を描くと、頂点の内角の和はπとなる。この平面上の直線は、別の方法でも得られる。すなわち、任意のテープを折り目を付けずに表面に貼り付けることで得られる。このような平面上の経路を「測地線」と呼ぶ。この方法により、たとえば自動車のドアやボンネットなど、任意の表面に測地線を描くことができる。
図1：平面上の3つの測地線からなる三角形
ポジコーンとネガコーン
平面上に切り込みを入れ、両端を貼り合わせる。その後、テープを用いて3つの測地線からなる三角形を描く。
図2：ポジコーンの構成
前もって行なった切り込みに沿って表面の両側を分離すると（図3）、プロトラクターを用いて、角A、B、Cの和が
π
＋切り込みの角度αに等しいことが容易に確認できる。このユークリッド幾何学における和との差を「曲率」と呼び、三角形が角αに相当する角曲率を「含んでいる」と言う。この差は、三角形がコーンの頂点を含んでいれば、どの三角形でも同じになる。頂点を含んでいない場合は、和はπとなる。このように、曲率はコーンの頂点Mに集中しているとし、「集中曲率を持つ点」と呼ぶ。角の和がユークリッドの和より大きいことから、この曲率は正であると呼ぶ。この視点から見れば、平面は曲率がゼロの表面である。
図3：展開されたポジコーン
この曲率は加法的である。複数のコーン（角度がα、β、γ）を貼り合わせると、測地線の弧からなるさまざまな三角形を描くことができる。三角形が、それぞれ曲率α、β、γを持つ3点を含んでいれば、その頂点角の和は
π＋α＋β＋γ
となる。
正の曲率を持つ表面は、無限個の「ポジコーン」の集合として考えられる。点に集中する曲率ではなく、表面全体に均一に分布する曲率を持つ。このように、球面は「定曲率表面」（または「角曲率密度が一定の表面」とも呼ぶ）である。
図4：3つの測地線弧からなる三角形
球面上の測地線は「大円」である。赤道や経線は大円であり、球面の測地線弧である。しかし、テープを使って平行線を描くことはできない。平行線は球面の測地線ではない。球面上に描かれた三角形の頂点角の和は、三角形の面積と球面全体の面積の比に依存する。非常に小さな三角形の和はπに非常に近くなる。
球面の面積の1/8を占める三角形では、角の和は
A＋B＋C＝2π
となる。
球面上の大円は、3つの頂点を円周上のどこにでも配置すれば、「三角形」と見なせる。この場合、角の和は
A＋B＋C＝3π
となり、球面の半分の面積を含む。
最大の差はどれほどか？ 大円を超えて三角形を「拡大」することはできない。なぜなら、それ以上に進めば、辺を構成する測地線弧の長さが減少し、ゼロに近づくからである。
球面全体を包み込むと、角の和は
A＋B＋C＝5π＝π＋4π
となる。
このとき、球面の「全曲率」は4πであると述べる。
図5：角の和。球面上の測地線弧からなる三角形
三角形が含む曲率の量は、単純な比例計算で求められる。
次に、図6に示すように、平面に角度αの扇形を挿入することで「ネガコーン」を作成する。
図6：「ネガコーン」
扇形を除去すると、以下のようになる。
図7：展開されたネガコーン
三角形の角の和は
A＋B＋C＝π－α
となる。この表面は、負の「集中曲率を持つ点」を有するネガコーンであると呼ぶ。この曲率も加法的である。小さなポジコーンと小さなネガコーンを組み合わせることで、局所的な曲率が任意の値となる表面を作成できる。
図7は、負の曲率が分布している表面である。この表面は、すべての点で「曲率密度」（角曲率）を持つと呼ぶ。ユークリッド的角和との差（負）は、この場合も三角形の面積に依存する。面積が小さければ、角の和はπに近づく。