このトーラスをR³に埋め込むことのホモトピー類に戻ろう。
図の2つの図形は、容易に「C変換」という操作で結びつけることができる。
トーラスをどこかで「自己貫通」させ、二重点の軌跡となる円を形成するのである。
私は「二色」を使っている：トーラスの外側を灰色、内側を白色で示している。
この自己貫通（「標準トーラス」の無限に存在する埋め込みの一つに至る）により、
表面の一部が白色として現れる。
トーラスの軸上にある点からこの図形を観察してみよう。
上部には、自己貫通によって現れたトーラスの内側（白色）の部分がある。
ここから「C変換」を適用し、二つの尖点（cusp）を生成できる。
矢印で示した点で「通路を絞る」操作を行う。
これにより、二つの尖点C₁とC₂が生じる。
これらを次のように移動させることができる：
あとは「C⁻¹変換」（二つの尖点が合流する）を行うだけである：
結果として得られるのがこの図形である：
このトーラスの埋め込みは、標準トーラスとホモトープである。
この「C変換」とその逆「C⁻¹変換」が、
R³における曲面の「ねじれ」のクラスを拡張することにより、
興味深い操作が可能になることがわかる。
古典的な曲面（球面、射影平面、トーラス、クラインの壺）のすべてのねじれを構成できる。
この集合には、いったい何個のクラスが存在するのだろうか？
すでに見たように、球面と射影平面は同じクラスに属する（同様に、右ねじのボイの曲面と左ねじのボイの曲面も同じクラス）。
では、トーラスのねじれクラスはいくつあるのだろうか？
私は間違いない限り、この問題は現在未解決であると考えている。
C操作によって、トーラスの埋め込みの一つのクラスから別のクラスへ移行できるだろうか？
直感的には、おそらく「できない」と答えるだろうが、これはあくまで
仮説にすぎない。
構成法は不可能性を証明するものではない。
可能であることを示すものにすぎない。
もし誰かが、クラス間を飛び越える構成法を見つけたならば、
その定理は事実上証明されたことになる。
しかし、そのような構成法が見つからないということは、
それ自体が証明ではない。
証拠の欠如は、証明の欠如を意味するわけではない。
R³におけるトーラスのねじれクラスが4つある、あるいは1つしかない、という主張は、
いずれも仮説であり、単なる信念にすぎない。
実際、スメールは、フィリップスが最初の構成を与えるよりも前に、
球面の裏返しが可能であることを証明していた。
逆もまた可能だったかもしれない。
しかし、誰が、幾何学的直感に完全に反するこのような挑戦を思いついたのだろうか？
C変換は、球面をクロスキャップに、そしてステインァーのロマネス曲面を経て、
ボイの曲面に変形することができる。
詳細は論文を参照のこと。
トーラスをクラインの壺に変形できるだろうか？
論理的には可能だろうが、この問いに対する即答は持っていない。
ついでながら、「射影平面」という言葉はなぜ使われるのか？
提示された図形（一方向性のもの）は有限である。
スリアウの回答は次の通りである：
- 平面上には「無限遠の直線」がある。
それを無限遠の直線に沿って単純に貼り合わせればよい。
その直線は、当然のことながら、閉じた曲線である。
『トポロジコン』には、ちょっとしたアニメーション（「葉書」）があり、
三半回転のメビウスの帯がボイの曲面に変形する様子を示している。
最後の画像は、この曲面から円板を除いたものである。
この円板を加えれば、曲面は完成する。
つまり、ボイの曲面とは、メビウスの帯に円板を加えたものである。
演習：『トポロジコン』のツールを使って、この曲面のオイラー・ポアンカレ標数（1に等しい）を再計算してみよ。
逆に、円板から始め、自己貫通しながら成長させ、
三半回転のメビウスの帯に再び貼り合わせるという構成も可能である。
私は、1987年4月4日・5日アッシュ・アン・プロヴァンスで開催されたラカン主義精神分析会議において発表した55ページの発表資料の中に、
これらの図を再発見した。
この資料は、主催者たちが編集した会議記録に掲載されている。
私は、この文章を、『ラカンにおけるJPP』という今後の文書で活用する予定である。
最初の画像：円板が変形している様子。
次に、自己交差集合の形成の始まり：
次の図：三重点の出現：
影を塗りつぶすのをやめる。なぜなら、表面がすでに一方向性（非可逆性）を帯びようとしているからである。
次に、表面が自らの境界に沿って再貼り合わせる準備が整っている：
ここでは、三半回転のメビウスの帯が描かれており、表面を完成させている：
次の図：同じメビウスの帯：
その後、完全に形成されたボイの曲面。
『トポロジコン』に掲載された画像と比較して、「下から見ている」とは言えない。
ボイの曲面には「頭」も「尾」もない。
この姿で見ると、三重点が見える。
次に、自己交差集合：
ご覧の通り、あなたは目の前で、平面が「無限遠の直線」に折り返されている様子を観察した。
その名前が「射影平面」である。
一見奇妙な名前だが、おそらくこれが、人々に無限を初めてこんなに近く見せる試みである。
これらの画像は、すでに20年以上も前に作成されたものであり、
このウェブサイトやCDがようやくそれらを提示する機会を提供している。
読者は、なぜこれらが『Pour la Science』や『La Recherche』に掲載されなかったのかと疑問に思うかもしれない。
それらの雑誌に論文を送ったことはないわけではないが、
編集部はこのテーマに興味を示さなかったのである。
この「幾何学的ツールボックス」を使って、
あなたも新しい曲面を次々と発明することを期待している。
以下に、イヴァールス夫人が考案した曲面を紹介する。
球面を、向かい合う二方向に、同じ長さの線分を押し込み、
それらが接触するまで進める。
これらが二本の棒に溶接されていると想像してみよう：
線分が接触するとき、「手術」が行われる。
線分に沿って面が交差し、両端に二つの錐点（尖点）が生じる。
以下は、この曲面の断面図：
同じものを透視図で：
曲面製作の工具箱には、「配管用部品」がある：
流体を入口から入れると、それは管の外側を通り、出口から出てくる。
しかし、出口を入口として使うこともできる。
その効果は同じである。
この物体は、外側を内側に変換する幾何学的演算子のようなものである。
この「継手」を閉じて自らをつなげると、クラインの壺が得られる：
しかし、別の組み立て方もできる：
同じものを透視図で：
この場合、表面は二方向性を持つ。
それは一体どんな表面だろうか？
正則なホモトピー、すなわち連続な埋め込みの系列によって、
これを次のように変形できる：
あなたは、取っ手のある箱を認識しただろう。
しかし、これは内側からしか開けられない。
この物体を変形できる。
ただ、穴を通して紐を引き、自分の方へ引っ張るだけである：
結果はこうなる：
これはトーラスである。
次は、あなた自身で以下の組み立てを試みてほしい：
三つの「継手」を使って作られたものである。
後日、別の論文で、この「継手」が球面の裏返しにおいて果たす役割について述べる予定である。