測地線に関する問題。
表面にテープを貼ることで測地線を描くことができます。質問：ある円錐面上に描かれた測地線が、再び自分自身と交差する条件は何か？
回転円錐の一点から、その母線に垂直な方向に測地線を出発させます。
この円錐の回転軸に関して対称な母線を考えます（任意の円錐は、測地線の描画に影響を与えない形で回転円錐に変形可能）。上図の場合、円錐を平らに広げると次のようになります：
ここで、切り開きの角度が円錐頂点に集中する角曲率を表していることが知られています。表面が展開可能であるため、測地線は平面における直線に変換されます。
測地線が再び自分自身と交差するためには、切り開きの角度が180°を超える必要があり、つまり円錐が十分に尖っている必要があります。
円錐を再び組み立てると、次のようになります：
円錐の測地線は頂点に「到達」できるか？
頂点に到達できるのは、円錐の母線のみです。頂点にいかに近い測地線を描いても、それは頂点から離れていくしかなく、たとえ「頂点に近づくように描かれたように見える」場合でも同様です。測地線に最も近い点と円錐の頂点を結ぶと、その母線は測地線と直角に交差します。この母線に沿って切り開き、平らに広げることができます。
円錐がどれほど尖っていても、得られるのは繰り返しの交差にすぎません。
測地線は無限に交差しうるか？ 円錐を展開すると、測地線が頂点と接続する母線に「跳ね返る」ように見える。
上図では明らかに、「跳ね返り」の結果、母線の二つの部分が交差しなくなるような方向に進んでいます。複数の交差を生じさせるには、非常に尖った円錐が必要です。
しかし、毎回「跳ね返り」の度に角度が開き、最終的には2π－qという領域に閉じ込められてしまいます。したがって、交差の回数は有限です。
円錐の母線は非常に特異な一族を形成します。しかし、いったい「円錐」とは何か？
左図のような図形を「円錐」と見なすことができます。この場合、測地線＝母線は半直線になります。
しかし、右図のような図形を「円錐」と見なすこともできます。この場合、「測地線」とは何か？ 二点を結ぶ最短経路と定義するなら、次のような状況に遭遇するかもしれません：
このように、各母線が第二の母線（第二の半円錐上）に連続的に延び、一つの連続した構造を形成する、円錐構造を採用できます。三次元空間におけるこのような点円錐を構想することは可能です（『幾何物理学A』第11章参照）。
その他の特異点。
尖点は特異点です。他にもいくつかの特異点が存在します。たとえば「円錐点」や、表面の折り返し点（「毛ばたき点」）など。
左：円錐点を持つ球面。右：毛ばたき点を持つ球面。
円錐点はピンで作ることができます。この変形を「円錐点の生成」Pと呼び、その逆変形をP⁻¹とします。
同様に、毛ばたき点の生成は変形Hに対応します。実際、毛ばたき点の生成は円錐点の生成の後に行われます。これは頂角が0になった円錐点です。したがって、表面の局所的な毛ばたき点を生成する変形はPHであり、その逆変形はH⁻¹P⁻¹です。
表面を変形する他の方法もあります。たとえば、二面角（dièdre）を生成する方法。この変形をDとします。これは、表面が滑らかである場合、閉じた経路に限定して独立して実行可能です。最も単純な例は球面です。たとえば、赤道に沿って「折り目」をつけることができます。この折り目には「線形曲率」が含まれており、これは『幾何物理学A』の序論で既に取り上げられているテーマです。
滑らかな表面において、この変形が線分に作用する場合、その両端はそれぞれ変形Pを受ける。
球面（柔らかく変形可能な球）を想定し、内部に剛体の定規（線分）を置き、球を押しこんでみましょう。定規の両端が表面に接触し始めます。ピンの効果：円錐点が二つ出現します。さらに押し続けると、線分は球面に接触しますが、まだ二面角は形成されていません。線分が球面に接触しているということは、球面上に直線ABが存在するということです。しかし、これは球面に折り目があることを自動的に意味するわけではありません。これはキャンプテントの設営に似ています。二本の杭を立て、それらを結ぶケーブルを張ります。しかし、テント内部が空気圧で膨らんでいない場合、布地はケーブルの下で垂れ下がり、折り目はできません。
ケーブルを張る：表面に直線ABが得られます。しかし、風が吹き、テントがわずかに圧力下にある場合、線分の周囲では接平面の連続性が維持され、テントの視覚的な姿勢が異なる角度で保たれます。
風が止むと、テントの壁は自重でたれ下がります。動きが開始されると、接平面の連続性が破られ、二面角が現れます。これが変形Dです。
このような変形は、いったい何に役立つのか？
実用的な応用に進む前に、もう一つの変形を定義する必要があります。円錐を考えると、頂点に「角曲率」が集中しています。もし円錐点が「真の」円錐の一部でない場合（側面に曲率がない場合）、その点の近傍では表面は円錐と見なすことができます。つまり、表面の円錐点において、「接する円錐」が存在するということです。
しかし、再び円錐に戻ります。二つの円錐点を容易に隣接させることができます。実際に、平面上の二つの切り開きからこのような表面を物理的に構築することも可能です：
AとBから出る線は単なる「縫い目」や「接着部」です。これらを取り除くことができます：
円錐点を重ね合わせると、「二重円錐」は一つの円錐に変わり、頂点には二つの円錐点に集中した曲率の合計が含まれます。
q₁ + q₂
したがって、新たな変形「円錐点の融合」ConfPを検討できます。
その逆変形は：
(ConfP)⁻¹
今、球面に8本の線分を押し込みましょう。これにより8つの二面角と16個の円錐点が生成されます。その後、円錐点を2つずつ融合させると…立方体が得られます。
したがって、球面から立方体への変換、およびその逆変換が可能であることがわかりました。同様に、これは表面の多面体表現の構築に役立ちます。さて、先ほどと同じように、この立方体を「膨らませて」みましょう：
辺が消えました。これは、8本の「ピン」を押し込んだ場合に得られる結果と一致します。