新しい宇宙論、宇宙の双子
1994年に『ニューヴォ・チメント』誌に掲載された論文の序論
…この研究の出発点は1977年である。パリ科学アカデミーの『カウンツ・レンデュ』に掲載された2つの論文：
J.P.ペティ：「時間の矢が逆向きの鏡像宇宙」、1977年5月8日、第285巻、pp.1217-1221
J.P.ペティ：「時間の鏡に映る宇宙との相互作用」、1977年6月6日、第284巻、Aシリーズ、pp.1413-1416
…その後の論文では、地球周辺（宇宙規模で見れば）の点と、第二の宇宙の共役点との間の点対点の関係（対合的写像）を、幾何学的対象のトポロジーに関する前提を仮定することによって、反対点関係を用いて構築しようとした。しかし、その後、その仮定は不要であることがわかった。なぜなら、局所的な構造（F,F*）は、「スケルトン多様体」の2重被覆として定義できるからである。この構造は、3次元射影空間P3の2重被覆であり、2次元のよりよく知られた射影平面P2の3次元版に等しい。したがって、最もよく知られた表現は、1902年にオーストリア人であるヴェルナー・ボーイが発見した曲面であり、図184を参照（原則として、サイトが完成すればアニメーション表示となる）。
…ボーイは著名な数学者ヒルベルトの弟子であり、彼の発明に対してヒルベルトは非常に満足していたと述べている。小話だが、発明後、ボーイは大学を去り、その後の行方は一切不明となった。歴史家たちが彼の足取りを追う試みはすべて無駄に終わった。彼が風邪で亡くなったのか、あるいは後年、配管工として生涯を終えたのかは、誰も知らない。
…幾何学者は、球面S2のすべての点を射影平面P2に重ね合わせられることを知っている。これは、以下の論文の図10で述べられている。北極が南極と一致し、赤道がボーイ曲面の擬赤道に沿って自身を巻き付ける。この2重被覆は、論文の図11に示されている。少なくとも2次元では、この操作が鏡像対称な物体を一致させることに注意されたい。図12と図13は、このように、塊が反対側の領域の隙間にどのように配置されるかを示す教育的図示である。
…この2重被覆の概念は、3次元、さらには4次元に拡張でき、球面S3とS4がそれぞれ射影空間P3とP4の被覆となる。
…さらに進む前に、読者のためにこの奇妙なボーイ曲面の幾何学に慣れ親しんでおこう。読者はまた、『トポロジコン』（ベルン出版、1984年）にこの対象のさまざまなバリエーションを見つけることができる。
…読者にとって驚くべき点は、この曲面が自己交差する点集合、すなわち三葉草型の曲線（船の螺旋に似た）を形成していることである。
…左の図では、三重点を可視化するために開口部が設けられている。ここでは3枚の面が交差している。この曲面は非常に特異な存在に見える。実際、これは上記の3次元表現空間の概念を説明するのに非常に優れた例である。
…三重点Tと自己交差曲線は、すべてR3における射影平面P2の表現方法に起因する。球面やトーラスはR3に埋め込むことができる、すなわち、自己交差しない、位相同型な表現が可能である。しかし、射影平面P2をR3に埋め込むことは不可能である。唯一可能なのは浸漬（immerse）である。したがって、上記の図（ボーイ曲面）は、射影平面をR3に浸漬したものである。2次元の対象の浸漬とは、R3における表現方法の一種であり、そこには二重点の線（自己交差曲線）が存在し、その上では2つの接平面が存在し、さらに3枚の面が交差する三重点が多数存在する。ボーイ曲面は、P2をR3に浸漬する無数の方法の一つにすぎない。他の浸漬方法は、サイトに掲載予定の論文「射影平面のさまざまな顔」で見ることができる。
…ボーイ曲面の画像を得るのは比較的簡単である。我々が考案し、発表したパラメトリック表現を用いればよい。
---> 読者は、数学サブサイトにおいて、1981年にパリ科学アカデミーに掲載された論文の再掲を含む、J.ソリアウ（著名な数学者ではない。彼の息子、ジェローム。後に情報技術者となった）との共著を確認できる。参考文献は：
"ボーイ曲面の解析的表現"、パリ科学アカデミー『カウンツ・レンデュ』第293巻（1981年10月5日）、シリーズ1、pp.269-272
ここでは、この曲面が楕円的子午線を持つことが示されている。この性質により、曲面の描画が容易になる。以下は、『トポロジコン』の表紙ページに掲載されているプログラムである。
BASICプログラム
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM ここが3つの座標
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM 点を表示するための命令
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
…記録として、この楕円的子午線を用いた表現の可能性の発見が、後に数学者アペリーが6次多項式の陰関数形による初めての表現 f(x,y,z) = 0 を得るきっかけとなった。
我々はこれの再掲をしない（非常に複雑であり、より簡単な表現が存在するはずだと確信しているが、それは別途数学サイトに掲載される資料の対象となる）。
…クラインの瓶は読者にさらに馴染み深い。これもR3に埋め込むことは不可能である。最も古典的な形では、自己交差する曲線（閉曲線）をもつ浸漬として現れる。
…クラインの瓶の2重被覆はトーラスT2であり、ボーイ曲面（P2）の2重被覆は球面S2である。ボーイ曲面に興味を持つ読者は、パリの科学館の一つの展示室に3次元模型を見つけることができる。この模型は、我々が作成したより素朴なモデルをもとに、彫刻家マックス・ソーズが製作したものである。
…このような2重被覆の操作において、対象の子午線と平行線は自らを巻き付ける。たとえば、トーラスの「平行線」（埋め込みにも関連）がどうなるかを示すことができる：
…このトーラスの埋め込みでは、平行線は明らかに曲面の測地線ではない（「喉の円」を除く）。トーラスの子午線についても同様であり、標準的な埋め込みでは測地線となる：
…以下に、これら2つを重ねて表示：
…これらについて、後述のテキストで詳しく取り上げる。