未解決の質量問題（p5）.
5) 解の解釈
...図2から、ポテンシャルYが無限に近づくにつれて定数に近づくことがわかる。エディントンの古典的解では、ポテンシャルは対数的に増加する。図3は、領域sに位置する物質のクラスターと、領域s*に位置する滑らかな空洞の関連性を示している。
...両領域において物質は物質を引きつける。しかし、場の式とポアソンの式から来る負の符号により、物質と「反対点の物質」は互いに反発する。これはクラスターの閉じ込めに寄与する。与えられた熱速度に対して、圧力の力とバランスを取るための物質の量はより少ない。滑らかなハローはコルセットのように働く。
...場の式は宇宙のマクロな記述を提供する。物質の粒子性は考慮されていない。モデルは、粒子と反対点の粒子が空間の非常に遠く離れた反対点の領域に存在することを示している。実際には、それらの性質は同一である。場の式の物理的意味は、粒子と反対点の粒子が重力効果によって相互作用するが、電磁気効果によっては相互作用しないということである。我々は、反対点の粒子、クラスター、リングは望遠鏡や電波望遠鏡では観測できないと考えている。反対点構造の観測には何らかの重力望遠鏡が必要であろう。
...式(22)によれば、クラスターは反対点領域に位置することができる。したがって、広い希薄領域を囲む広範なハローも観測可能な宇宙に存在するはずである。実際、それらは存在する。なぜなら、それらは私たちにとって観測された宇宙の大規模構造に対応しているからである。銀河は大きな希薄なバブルの周囲に配置されているように見える。我々のモデルによれば、対応する反対点領域に大きな反対点物質の雲が存在するはずである。
...宇宙はS3 × R1のトポロジーを持つと仮定されている。読者にはこの不思議な3次元幾何学を理解するのが難しいかもしれない。実際、S3は単に射影空間P3の二重被覆として定義されている。このような枠組みでは、球面上の各点sはその反対点A(s)と関連付けられる。これは、S2が射影空間P2を被覆する場合と同様である。これは、我々の空間R3においてよく知られたボイの表面として表現できる。
図9 : S2球面上の反対点のペアと、射影空間P2の画像であるボイの表面
図10では、球の子午線とボイの表面におけるその位置を示している。
図10 : 2次元球の子午線の周辺と、ボイの表面におけるその位置
...図11は、S2球の子午線が3回の半回転を持つモビウス帯に沿って自身に接着される方法を示している。局所的には、この表面はファイバー束の多様体とみなすことができる。ファイバーには+1と-1の2つの値がある。
図11 : モビウス帯の被覆に対応するエナンチオモルフィックな画像。
...3次元球S3において、測地線をたどると反対点は中間地点に位置する。もし3次元球が4次元空間に埋め込まれているなら、任意の点とその反対点を一致させることができる。これらの点のペアは反対点の反転写像Aによって関連付けられるが、同一視されない。
...図12に示すように、「チーズ」構造からクラスター構造へと連続的に移行できる。この特徴的な性質は、以前に2次元の数値シミュレーションで示されていた。空間の領域が図12に示されるように反対点領域の「向かい側」に置かれると、クラスターは空洞に挿入される。
図12 : 宇宙の大規模構造の2次元画像 ****
** ** 図13 : 2つの反対点領域の相互作用 ** **
...この効果は銀河構造のレベルで作用する可能性があり、図14に示されるように、各銀河が対応する反対点領域の「空洞」に挿入される。
