双子宇宙の宇宙論 物質の幽霊-物質の天体物理学。 1. 幾何学的枠組み。物質時代とニュートン近似。(p2)
2) 物質支配型の宇宙論モデル。
... 二つの宇宙が等方的で一様であると仮定すると、球座標系における計量は次のようになる：
(17)
(18)
... これらの二つの計量は、それぞれの折り目の固有の座標系で表されている。k と k* は曲率のインデックスである。
無次元の固有時間を導入する：
(19) s = cT s s* = - cT s
無次元のスケール因子を導入する：
(20)
R = cT R
R* = cT R*
計量は次のようになる：
(21)
(22)
ここで空間部分は：
(23)
dh² = du² + u² ( dq² + sin² q dj²)
同様に、場の運動方程式系を無次元形式で表すことができる：
(24)
(25)
つまり：
(26)
ここで、
(27)
ここで添え字 r は放射、添え字 m は物質を指す。
c（アインシュタイン定数）→ - 8 π
R → R
R* → R*
r = ro w
r* = ro w
p = po p
p* = po p
{ ro , ro , po , po } は特徴的な質量密度と圧力である。本論文では物質時代を取り扱う。放射時代の終わりにおいて物質の密度と圧力が等しいと仮定し、次のように書く：
(27b)
ro = ro ; po = po
物質時代においては：
(28)
そして場の運動方程式系は次のようになる：
(29)
(30)
テンソルは無次元形式で書かれる：
(31)
ここで (w , w*) は無次元の物質密度、(p , p*) は無次元の物質圧力であり、すべて正である。以下の4つの微分方程式系を得る：
(32-a)
(33-b)
(32-c)
(32-d)
... 両方の折り目の熱速度が光速に比べて無視できると仮定すると、圧力を無視できる（粉塵宇宙）。初期段階において、分離が起こった直後には w = w* となり、この系は次のようになる：