二重宇宙の宇宙論 物質と幽霊物質の天体物理学。
1. 幾何的枠組み。物質時代とニュートン近似。(p3)
(33-a)
(33-b)
(33-c)
(33-d)
… (33-b) および (33-d) から、曲率係数 k および k* は負でなければならない。したがって、k = k* = –1* が得られる。初期の進化則は単純に線形である：R = R* » r*。しかし、後で示すように、物質の密度は異なる可能性がある。その場合、次のシステムが得られる：
(34-a)
(34-b)
(34-c)
(34-d)
このシステムからすぐに次の式が導かれる：
(35-a)
(35-b)
両方の折り目の質量保存を導入する：
(36)
w R³ = 定数 w* R³ = 定数
このシステムは次のように変わる：
(37-a)
(37-b)
… R = R** から R¨ = R¨* = 0* が導かれる。一方、もし二つの宇宙が「完全に結合していた」、つまり R/R = 定数 であれば、それはフリードマンモデルに相当し、「並行な進化」を持つことになる。しかし、私たちはこれらが重力場によって結合されていると考える。(37-a) および (37-b) から、線形拡張が不安定であることが示されている。例えば、R > R** であれば、R¨ > 0 および R¨* < 0* となる。このシステムは数値的に解くことができる。典型的な解は図1に示されている。
図1：宇宙と幽霊宇宙のスケールパラメータの進化。
共通の「歴史」が存在し、共通の座標系によって記述される：
{ t, u, q, j }
… (13) から (16) の式を用いることで、{ t, r, q, j } および { t* , r* , q, j } のシステムに戻ることができる。光の速度 c および c**、および特徴的な時間 T および T** は異なる可能性があることに注意する。もし c = c** および T = T** = 1 であれば、単に (t = t ; t* = – t*) となる。
なぜ r* = r* と単純に置けないのか？
それは、長さスケール R と R* が異なるからである。二つの共役点の集合 (A, A**) と (B, B**) を考える。q_A = q_B および j_A = j_B と仮定する。この二つの集合は、半径方向のマーカー u_A および u_B に対応する。これらが共役であるため、A と A** は同じ半径方向のマーカー u_A を指し、B と B** も同じ u_B を指す。距離 AB は R (u_B – u_A) であり、距離 AB は R* (u_B – u_A)* である。R* ≠ R* であるため、これらは異なる。
図2：共役点 (A, B) と (A, B) の間の異なる距離。**
… 仮に座標 (t, x, y, z) および (t*, x*, y*, z*) が、折り目 F および F** にいる二つの観測者を表すとすれば、彼らは同じ映画を別々の部屋で見ているようなものであるが、以下の点が異なる：
- スクリーンのサイズが異なる（R と R**）；
- イベントの順序が逆転している（t と t* は符号が逆）；
- 一つのスクリーンで「右」にあるものは、もう一つのスクリーンでは「左」にある（エナンチオモルフィー）。
これはサハロフの初期のアイデア([5], [6], [7] および [8]) の拡張であり、空間スケールが異なる。