双子宇宙の宇宙論 物質・幽霊物質・天体物理学。2:
共役定常状態メトリクス。厳密解。(p2)
3) シュワルツシルト型の結合した内部厳密解。
F*が空で、Fに質量M、半径ro、一定の質量密度rを持つ物体が含まれる場合を考える。
これは次の式のセットに該当する：
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
ただし T* = 0 である。古典理論では、シュワルツシルトの内部解が導かれる。これにより、Tテンソルは次の形になる：
(14)
選ばれたメトリックの形は：
(15)
ds² = en c² dt² - [ el dr² + r² ( dq² + sin²q dj²) ]
場の式から導かれる微分方程式の右辺には次の項がある：
(16)
2番目の項は、圧力が場に与える寄与である。中程度の圧力では無視できる。気体の場合、これは << c という近似に該当し、Vは熱速度である。物体が固体（惑星）の場合、圧力の寄与は小さいが、中性子星のような物体ではそのようなことは言えない。以降、物理的に妥当な仮定を採用する：
(17)
すると微分方程式は次のより単純な形に書ける：
(18)
(19)
(20)
cはアインシュタイン定数である：
(21)
まず(18)と(19)を足し合わせて得られる：
(22)
cが負であるため、l' + n'は正またはゼロである。式(18) + (19) + (20)から次の式が得られる：
(23)
(24)
(25)
次のように書く：
(26)
(23)と組み合わせると：
(27)
m(r)は長さであり、シュワルツシルト長に似たものである。M(r)が幾何的質量としての役割を果たしていることが再確認される。
(24)は解ける。次のように書く：
(28)
または：
(29)
導入する：
(30)
すると：
(31)
Aは定数である。したがって内部メトリックは次のようになる：
(32)
r = roのとき、外部メトリックは次のようになる：
(33)
または：
(34)
または：
(35)
外部メトリックとの関係が保証されるためには：
(36)
我々の内部解（p » 0）は次のようになる：
(37)
我々が行う級数展開は次の通り：
(38)
我々の内部メトリックと非ゼロ圧力の古典的もの[7]：
(39)
は漸近的に一致する。