双子宇宙の宇宙論 物質 幽霊物質 天体物理学。2: 共役定常状態メトリクス。正確な解。 (p3)
さて、メトリクス g* に関連する内部解を考えてみましょう。これは次の場の式に対応します：
(40) S* = - c T
メトリクスの形を次のように選びます：
(41)
ds2 = en c2 dt2 - [ el* dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2) ]
このとき、微分方程式のシステムは次のようになります：
(42)
(43)
(44)
右辺にマイナス記号があることに注意してください。
まず(42)と(43)を足し合わせると、次のようになります：
(45)
cが負であるため、l*' + n*'が負またはゼロであることを意味します。(42) + (43) + (44)のシステムから、次のようになります：
(46)
(47)
(48)
次のように書きます：
(49)
(46)と組み合わせると：
(50)
(27)と同一です。
式(47)は次のように解けます：
(51)
または：
(52)
次のように導入します：
(53)
これにより、次のようになります：
(54)
Bは定数です。このため、内部メトリクス g* は次のようになります：
(55)
対応する外部解との結合は、次の条件により保証されます：
(56)
そして、私たちの内部メトリクス g* は次のようになります：
(57)
