双子宇宙の宇宙論 物質、幽霊物質、天体物理学。2: 共役定常度量。厳密解。(p4)
3)共役スカラー曲率。
一般場方程式系(1) + (2)から、次の式が得られる：
(58)
R* = - R
FとFという折り目を持つ2つの共役点MとMにおいて、スカラー曲率RとR*は逆になる。この性質を満たす幾何を「共役幾何」と呼ぶ。この概念を説明するために、教育的図を用いることができる。図1を見てほしい。上には「なめらかなポジコーン」、下には「なめらかなネガコーン」が向かい合っている。なめらかなポジコーンは、円に沿って球面の一部（一定の角曲率密度を持つ表面）に接続された切断された円錐から構成されている。
図1: 共役幾何の教育的図（R = -R）*。質量Mは折り目Fに存在する。 折り目F*は空である。
示されているのは、共役点のペア（M, M*）である。
馬の鞍は、負の曲率に対して球面の一部（一定の角曲率密度を持つ表面）に相当する。球面は総曲率が4πである。球面の一部は、角曲率qが次の式で与えられる：
(59)
円錐は、角曲率が集中した点Sを含む表面であり、これは正の角曲率q > 0に相当する。図2に従ってこれを構成する。
図2: 「ポジコーン」の構成。
円錐の頂点に含まれる角曲率の定義：3本の測地線で三角形を描いた場合、2つの場合がある。頂点を含まない場合、角度の和はユークリッド的なπになる。頂点を含む場合、角度の和はπにその対応する点曲率qを加えたものになる。図3を参照。
図3: 円錐の頂点に位置する正の点角曲率
（ポジコーン）
同様に、以下のように「ネガコーン」を構成できる：
図4: 「ネガコーン」の構成 頂点Sに負の点角曲率を備える。
小さなポジコーンの集合を、基本的な曲率dqiに対応させ、それらを貼り合わせることができる。図5を参照。
図5: 基本的なポジコーンの集合。
角曲率は加法的な量である。要素の数が無限大に近づき、dqiが0に近づくと、全体のオブジェクトは境界付きの滑らかな表面に近づく。この表面の任意の部分において、角曲率（角度dqiの和）を測定できる。また、局所的な角曲率密度を次のように定義できる：
(60)
このような基本的なポジコーンの集合は、接平面を持つ滑らかな表面に近づく。もし表面でC(M)が一定で正であれば、それは球面または球面の一部である。球面の表面における角曲率密度の積分は、その総曲率4πを与える。もしC(M)が0であれば、表面は局所的に平ら（平面、円錐の壁、円筒など）である。