双子宇宙の宇宙論 物質 幽霊物質 天体物理学。2: 共役定常メトリクス。厳密解。(p5)
この操作は、結合されたネガコーン（負の角曲率密度）に拡張できる。ユークリッド面では、C(M) = 0 である。基本的なネガコーンと平面の小さな部分を使用して、角曲率密度 C(M) が正、負、またはゼロであり、点 M の関数として連続的な任意の滑らかな表面を構築することができる。今では、切断されたポジコーンを球面の一部と結合することができる。角曲率 q が等しい場合、接平面の連続性が保証される。図6を参照のこと。
図 6 : 「滑らかなポジコーン」の構築。
一定の負の角曲率を持つ表面は「馬の鞍」と呼ばれる。図7を参照のこと。このような表面では、点 P を中心に曲線を描くことができる。
図 7 : 「滑らかなネガコーン」の構築。
図1に示すように、滑らかなポジコーンと滑らかなネガコーンを向かい合わせに配置することができる。共役点 M と M* は逆の曲率密度を持つ：
(61)
C(M*) = - C(M)
二つの共役表面のユークリッド部分では、これらの曲率はゼロである：
(62)
C(M*) = C(M) = 0
これは2次元の共役幾何の例である。明らかに、4次元の折り目と同じように、折り目の測地線の画像は、もう一方の測地線ではない。図8と図9を参照のこと。
図 8 : 滑らかなポジコーン F の測地線の画像（共役点から構成される）は、滑らかなネガコーン F の測地線ではない。*
** ** 図 9 : 滑らかなネガコーン F の測地線の画像（共役点から構成される）は、滑らかなネガコーン F の測地線ではない。* ** **
これは単なる教育的画像だが、共役幾何の基本的な概念を示している。一般相対性理論では、シグネチャー (+ - - -) を持つ双曲的幾何を持つ4次元超曲面を取り扱う。
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オリジナル版（英語）
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig. 7 :** Building a "smoothed negacone".**
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig. 8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig. 9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
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