二重宇宙宇宙論 物質と幽霊物質の相互作用 天体物理学。2：共役定常状態の計量 厳密解。（p7）
結論
二重構造を想定した二つの結合された場の方程式に基づくモデルを検討した結果、非一様かつ定常状態の厳密解が存在することを示し、その構成も行った。共役幾何学および誘導幾何学の概念を説明するために、2次元の教育的モデルを提示した。測地線の設計は、ニュートン近似に基づく解析と一致している。
参考文献
[1] Petit J.P.: The missing mass effect. Il Nuovo Cimento B Vol. 109 July 1994, pp. 697-710
[2] Petit J.P.: Twin Universe Cosmology. Astrophysics and Space Science. Astr. And Sp. Sc. 226 : 273-307, 1995
[3] J.P.Petit & P.Midy : Repulsive dark matter. Geometrical Physics A**,3**, pp.221-237 , 1998.
[4] J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1: The geometrical framework.The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, pp. , 1998.
[5] J.P.Petit & P.Midy : Repulsive dark matter. Geometrical physics A, 3. Feb.1998.
[6] J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1 : The matter era and the newtonian approximation. Geometrical physics A, 4, March 1998.
[7] R.Adler , M.Bazin & M.Schiffer : Introduction to General Relativity. Mac Graw Hill Book Company, 1965.
謝辞
本研究はフランス国立科学研究センター（CNRS）およびA. Dreyer Brevets et Développement社の支援を受けて行われた。1998年、パリ科学アカデミーに封印された書類として提出された。
本論文に関するコメント
数学的には、提示された解は影のない完全な解である。場の方程式におけるテンソルTに、入力圧力の寄与を単に無視しただけである。その結果、テンソルは以下のようになる：
これは次を意味する：
pは次元的にエネルギー密度（J/m³）であり、rc²も同様である。もし媒質が気体であれば、これはたとえば圧力が平均熱運動速度に関連する運動エネルギー密度の測度であることを意味する。内部媒質を理想気体とみなせるものと仮定すると、物質の圧力は次のように表される：
この近似は、物体内の熱運動速度が相対論的でないことを仮定することに相当する。したがって、このモデルは「通常の」天体、特に回転せず、球対称な真空中に存在する星を記述するのに適している。
この解は以前に開発されたものとは異なり、たとえばAdler, Schiffer, Bazinの『一般相対性理論入門』（1975年、Mac Graw Hill）に記載されているものと異なる。当初から、非零の圧力を扱うことを目的として設計されている。外側計量と内側計量の接続は、星の表面でp = 0とすることで実現される。その結果、計量は以下のようになる：
ここで、もし次のように級数展開を仮定すれば：
この計量と我々の計量は漸近的に一致することがわかる。いずれにせよ、圧力が非零であると仮定すると、状態方程式p = p(r)が欠けている。しかし、このアプローチは有名なTOV方程式（Tolmann, Oppenheimer, Volkov）に到達する。これは圧力pとその空間微分p'、およびrに関する微分方程式である。
mは関数m(r)である：
（詳細は論文または文献参照）。この方程式は、中性子星内部の記述に古典的に用いられる。ここでは、単にr = 定数（約10¹⁶ g/cm³）と仮定する。その結果、圧力の変化を記述する微分方程式が得られる。注目すべきは、星の質量が一定密度で増加する（中性子の凝縮は圧縮不能と仮定）場合、最初に現れる臨界状態は中心部の圧力が無限大になることである。そのとき、星の半径はまだシュワルツシルト半径よりも大きい。
もちろん、我々は二つの共役計量に対しても同様の解を構築しようとした。物理的には、この問題は驚くべきものである。たとえば、我々の側（F面）に星が存在すると仮定すると、圧力場と密度を記述する二つのスカラー関数p(r)とr(r)が存在する。r(r) = 定数である。このとき、第二の面における幾何学は次の方程式から導かれる：
S* = - c T
したがって、これらのp(r)とr(r)が第二項に現れる。しかし、第二の面は空虚（r* = 0）かつ圧力ゼロ（p* = 0）とすべきである。しかしながら、選ばれた構造、すなわち二つの場の方程式の結合系は、これらの項が別の面の幾何学に寄与することを意味する。
古典的な手法を適用すると、単にrを-r、pを-pに置き換えることで得られる類似の式が得られる。TOV方程式も再現される。しかし、この微分方程式は、必ず同じ解を与える必要がある。異なる微分方程式がp(r)を異なる関数として与えることはできない。しかしながら、得られた方程式は異なるものであり、単に次の変換に対応する：
p → -p
r → -r
m → -m
ただし、m → -mも同様に適用される。しかし、TOV方程式はこの変換に対して不変ではなく、結果として次のように変わる：
（分母のマイナス符号がプラスに変わる）。
したがって、このアプローチ（古典的アプローチを踏襲）では、非零圧力の解は存在しない。この事実は、むしろ問題を異なる方法で扱う必要があることを示唆している。今後、中性子星における臨界状態のアプローチに関する研究を進める予定である。我々は、放射時代のモデルを構築した。これは『Geometrical Physics A, 6』に掲載された論文に対応しており、物理定数が放射圧力の値に「インデックス」されていると仮定している。標準モデルにおいて、脱結合期より以前に遡ると、圧力の寄与が無視できなくなるだけでなく、その寄与は主に放射に起因する。これは、物理定数が電磁エネルギー密度（すなわち放射圧力）に依存することを意味する。したがって、我々は中性子星の研究において、次のような項：
がrと比較して無視できなくなるように、物理定数（G, h, c, 中性子質量、および他の定数）が局所的な圧力の値に依存すると仮定した（静的で平衡状態の解を想定）。中性子星の臨界状態は、中心部の圧力の急上昇から始まる。この観点から、局所的な光速度の上昇に伴い、中心部では時空の位相空間のトポロジーが崩壊する可能性がある。pとcが有限の間は、トポロジーは超球面的であり、中性子星の中心まで「皮を剥く」ことが可能である。物質は常に存在し、同じ面にとどまる。しかし、我々はこの方向に研究を進めている。局所的な光速度が無限大に近づくとき、トポロジーが変化し、中心部の幾何学が変化し、「超トーラス的ブリッジ」が出現し、...