双子宇宙の宇宙論 物質と幽霊物質の天体物理学。4： 重力不安定性の連成。 7 - 物質と幽霊物質の天体物理学。4： 重力不安定性の連成。 ジャン＝ピエール・ペティとピエール・ミディ マルセイユ天文台。
要約：
2つの場の方程式が結合している状況から出発し、発散がゼロであるという条件により分離された保存則を仮定することで、以下の結合されたオイラー方程式系を解析した。その結果、2つの結合されたジェインス方程式が得られた。このシステムに対して、連成重力不安定性の効果を示す解が提示された。
1)結合されたジェインス方程式系の構築。
参考文献[1]から[9]において、2つの結合場方程式に基づくモデルを構築した。
(1) S = c ( T - T*)
(2) S* = c ( T* - T)
これらの式が発散なしであると仮定すると、次式が得られる：(3)
¶ ( T - T*) = 0
これにより保存則が導かれる。一般の場合、これはある種の物質が超トンネルを介して一方の折り畳みから他方へ移動可能であると仮定すれば、エネルギー-物質が2つの折り畳み全体で保存されることを意味する。現時点ではこのような過程は考慮せず、より制限的な形に移行する：(4)
¶ T = 0
¶ T* = 0
これは、エネルギー-物質が2つの折り畳み、すなわち物質と幽霊物質の2つのサブシステムにおいてそれぞれ保存されることを意味する。次に、保存則を分離する。観測者が折り畳みFに存在する共通座標系 { t , x , y , z } で方程式を記述する。
物質と幽霊物質はそれぞれ異なるオイラー方程式の集合に従う：
(5)
(6)
(7)
(8)
さらに次式を加えることができる：(9)
初期状態として定常状態を仮定する：(10)
r = ro
r* = ro
T = To
T = To
V = V = 0
ここから摂動法を用い、摂動されたポアソン方程式：
(11)
D d Y = 4 p G ( dr - dr*)
を導入する。ジェインス長を導入することで、次の2つの結合されたジェインス方程式が得られる：
(12)
(13)
(14)
これらは連成重力不安定性の現象を記述する。
次に、最終状態に対応する球対称な定常系を考える。
この状態は2つのマクスウェル分布関数 f と f*（熱力学的平衡）によって記述できる。このとき、質量密度は次の関係を満たすことが知られている：(15)
これらをポアソン方程式に代入する。
次に無次元化された形で表す。ここで：
(16)
とすると、次式が得られる：
(17)
これは図1において数値的に解かれており、l = m = 1（ro = r*o）の場合を示している。
図1： 球対称な定常非線形マクスウェル解。
元の英語版
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 4 : Joint gravitational instabilities. 7 - Matter ghost matter astrophysics. 4 : Joint gravitational instabilities. Jean-Pierre Petit and Pierre Midy Observatory of Marseille.
Abstract :
Starting from the two coupled field equation and assuming separate conservations equations, due to zero divergence conditions, the susbsequent coupled Euler equations systems ins analyzed, which gives two coupled Jean's equations. A solution is given, which evidences the joint gravitational instabilities effect.
1) Building a coupled Jeans' equations system.
In references [1] to [9] we have developped a model based on the two coupled field equations system.
(1) S = c ( T - T*)
(2) S* = c ( T* - T)
We assume these equation to be divergenceless, which gives : (3)
¶ ( T - T*) = 0
It gives conservation equations. In the general case it means that the energy-matter is conserved over the two folds, if one admits that some material can be transfered from a fold to the other, through some hypertoric bridge. At the present time we do not deal with such process and shift to the more restrictive form :> (4)
¶ T = 0 ¶ T* = 0
which means that the energy-matter is conserved in the two folds, in the two sub-systems : matter and ghost matter. Then we separate conservations equations. We write the equations in a common system of coordinates { t , x , y , z }, of an observer located in the fold F.
Matter and ghost matter obey distinct sets of Euler equations :
(5)
(6)
(7)
(8)
We can add : (9)
Starting from steady initial conditions : (10)
r = ro
r* = r*o
T = To
T* = T*o
V = V* = 0
we use a perturbation method, with the perturbed Poisson equation : (11)
D d Y = 4 p G ( dr - dr*)
Introducing the Jeans lengths : (12)
we get two coupled Jeans equations : (13)
(14)
which describe the joint gravitational instabilities phenomenon.
Imagine now that we deal with a spherically symmetric steady state system, corresponding to a final state.
We can describe it by two maxwellian distribution functions f and f* (thermodynamic equilibrium). Then we know that the mass-densities obey : (15)
that are introduced in the Poisson equation.
Write it in an adimensional form, with : (16)
we get : (17)
with is solved numerically on figure 1, for l = m = 1 ( ro = r*o )
**Fig.**1 : Steady spherically symmetric non-linear Maxwellian solution.