宇宙の双子と天体物理学および宇宙論
物質と幽霊物質の天体物理学。
5：2次元数値シミュレーションの結果。VLS。
銀河形成の可能性のあるスキームについて。
.(p2)
別の方法も述べられており、各点の反対側に距離の打ち切りを導入する。我々の正方形は、どこでも曲率がゼロのユークリッド平面トーラスであることに注意。図3を参照。
図. 3 ：「ユークリッドトーラス」。我々は正方形の中心Pを示した。幾何学的に見れば、点A、B、C、Dはトーラス上のPの反対点に同一視されるべきである。我々の正方形では、直線はユークリッドトーラスの測地線を表している。図3の左下の画像は誤りである。なぜなら、「平らなトーラス」を描くことはできないからである。点Pに位置する質量の反対点（a、B、C、D）における重力作用もゼロである。同様に、点（H、K）または（M、N）に位置する質量においても同様である。図4を参照。
図. 4 ：トーラス上では、点Pには3つの反対点がある：
（A、B、C、D）（M、N）（H、K）
対応する測地線の経路長は基本的に異なる：
(1)
トーラス（どのような曲率を持つものでも）には、与えられた2点PとQを結ぶ無限の測地線があり、そのうちの1つは最短距離であることに注意。図5は空間的に周期的な記述に対応する。
図. 5 ：2つの異なる点PとQを結ぶ2つの測地線。 空間的に周期的な記述。
図6では最短経路を示した。非ユークリッドトーラスの表現は、このトーラスが局所的に正と負の曲率を持つため、単なる位相的記述である。このようなトーラスの測地線は、明らかに我々の「平らなトーラス」の測地線ではない。
図. 6 ：PからQへの最短経路。
図7では、より長い経路を示した。
図. 7 ：点Pから点Qへのより長い経路。
我々は、物事があまり単純ではないことを理解する。
もし質量点をS2球面上に配置すると、2つの与えられた点を結ぶ測地線は1つだけである。図8を参照。
図. 8 ：球面上の2つの点、1つの測地線で結ばれている。
対応する重力相互作用を計算する際には、2つの長さを考慮する必要がある：
(3)
d = a R
d' = R ( 2ap - a )
もし2つの点が互いに引き合うと、出会おうとする。逆に、互いに反発する場合、反対側の位置に落ち着こうとする。