宇宙の双子と天体物理学および宇宙論 霊体物質と天体物理学の物質.6. らせん構造。(p3)
- 2次元数値シミュレーションの初期条件をどのように定義するか。
ポアソン方程式とVlasov方程式の組み合わせの2次元Eddington型解の構築。
Vlasov方程式の非一様（楕円形）解は長期間にわたり3次元で詳しく研究されてきた。以降では2次元の運動と位置を考えるため、Vlasov方程式の2次元自己整合的な楕円形解を構築する必要がある。
Vlasov方程式を書くと：
(1)
ここで：
(2)
f(x, y, u, v, t)は速度分布関数である。式(1)は、特異（残留または熱的）速度C = (u, v)を用いて、dyadicsテンソル表記で書かれている。
<V>はマクロスコピックな速度である。mは粒子の質量である。
****は位置ベクトル（x, y）である。
...
太字の文字はベクトルを表す。式(2)の最後の項は、2つのdyadicテンソルのスカラー積である（参照[20]）。ここでは、Eddington型の2次元楕円形解を導入する：
(3)
ここでCは残留速度、熱的速度である。定常状態の条件では、Vlasov方程式は次のようになる：
(4)
Vlasov解と組み合わせると、次のようになる：
(5)
これは熱的速度Cの成分uとvに関する3次多項式である。解として：
(6)
となる。
(7)
3次項から：
(8)
2次項から：
(9)
組み合わせると、次の連立方程式を得る：
(10)
これを次のように置く：
(11)
すると：
(12)
分布関数は次のようになる：
(13)
ここでCは熱的速度Cの半径成分、Cpはその方位成分である。これにより：
(14)
古典的な（3次元）Eddington解では、速度の楕円体の主要軸がシステムの中心を向いていた。図6を参照。
図6：Eddington型解に対応する速度の楕円体。
現在の2次元Eddington型楕円解では、主要軸が一定でシステムの中心を向く速度の楕円を得る。中心では速度の楕円は円（2次元のマクスウェル・ボルツマン速度分布）になる。後ほど示すように、その主要軸 （平均半径熱速度）は半径距離vに対して一定である。その横軸（平均方位熱速度）は無限に近づくにつれてゼロに近づく。図7を参照。
図7：2次元Eddington型解における速度楕円の進化、システム中心からの距離関数として。****
