スパイラル構造 マター・ゴースト・マター 天体物理学。6：スパイラル構造。(p4) 1次項に戻ると、次のようになる：(15)
極座標では：(16)
3次項は消える。(17)
つまり：(18)
2次元分布関数は：(19)
そして、速度楕円の軸は次のようになる：(20)
次に、数密度n()を導入すると、次のようになる：(21)
および：(22)
二重構造F*では、Eddington型の解も採用する。(23)
(24)
(25)
(26)
参考文献[1]によると、ポアソン方程式は次のようになる：(27)
ここで、は重力ポテンシャルである。は最初の折り目の質量密度であり、は2番目の折り目の質量密度である。この軸対称系に対する最終的な微分方程式は次の通りである：(28)
以下を導入する：(29)
ここで、VoとVo*は特徴的な速度である。以下の無次元量を導入する：(30)
速度楕円の軸を次のように書く：(31)
これにより、無次元パラメータ、、、を用いて、非回転軸対称系に関するポアソン微分方程式が得られる。(32)
-
は二重構造の重要性（特徴的な質量比）を表す。
-
は隣接する2つの折り目FとF*における熱的速度比を表す。
-
およびは、2つの集団における特徴的な長さ（ジャンス長に相当）を表す。
無次元形式で書かれた質量密度は次の式に従う：(33)
数値計算のための初期条件は=0で与えられる。そのとき：(34)
厳密に言えば、これは物理的ではない。なぜなら、-運動は基本的に無視されているからであるが、2次元シミュレーションもまた物理的ではない。我々はこの資料を用いて2次元数値シミュレーションを制御し、出発点として定常状態の条件を探している。